Übungsblatt 8 zur Einführung in die Algebra

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Universität Konstanz Christoph Hanselka Fachbereich Mathematik und Statistik Markus Schweighofer Wintersemester 2014/2015

Übungsblatt 8 zur Einführung in die Algebra

Aufgabe 1.SeiAein kommutativer noetherscher Ring. Zeige:

(a) Ist I

⊆

Aein Ideal, so istA/I noethersch.

(b) IstS

⊆

Amultiplikativ, so istA_Snoethersch.

Aufgabe 2.Betrachte den UnterringZ

[ √

−

5

] =

_Z

[ √

5^◦ı

] = {

a

+

b

√

−

5

|

a,b

∈

_Z

}

von C. Zux

=

a

+

b

√

−

5 (a,b

∈

_{Z) sei}x^∗:

=

a

−

b

√

−

5 und N

(

x

)

:

=

x^∗x

∈

_{Z. Zeige:}

(a) x

7→

x^∗ ist ein selbstinverser Automorphismus des RingesZ

[ √

−

5

]

. (b) N

(

xy

) =

N

(

x

)

N

(

y

)

für allex,y

∈

_Z

[ √

−

5

]

. (c) Z

[ √

−

5

]

^×

= {−

1, 1

}

(d) 2 und 1

+ √

−

5 sind inZ

[ √

−

5

]

irreduzibel.

(e) 2 und 1

+ √

−

5 sind inZ

[ √

−

5

]

nicht prim.

(f)

(

2, 1

+ √

−

5

)

ist inZ

[ √

−

5

]

kein Hauptideal.

(g) Z

[ √

−

5

]

ist nicht faktoriell.

(h) Z

[ √

−

5

]

ist noethersch.

Aufgabe 3.Gebe die Primfaktorzerlegung folgender Polynome inZ

[

X

]

an:

(a) X³

+

5X²

+

X

+

9 (b) X⁴

+

3X³

−

X²

−

6X

−

2

(c) 3X⁵

+

12X³

−

36X²

+

₁₈

Abgabebis Montag, den 15. Dezember, um 9:55 Uhr in die Zettelkästen neben F411.