Universität Konstanz Sabine Burgdorf Fachbereich Mathematik und Statistik Markus Schweighofer Wintersemester 2017/2018
Übungsblatt 7 zur Einführung in die Algebra
Abgabebis Montag, den 11. Dezember 2017, 11.44 Uhr in die Briefkästen auf F4.
Aufgabe 22
Sei A ein kommutativer Ring und S ⊆A multiplikativ. Sei B ein weiterer kom- mutativer Ring und ϕ: A → B ein Homomorphismus mit ϕ(S) ⊆ B×. Zeige, dass es genau einen Homomorphismus ψ: AS → B gibt mit ϕ = ψ◦ιS, wobei ιS:A→AS, a7→¯adie kanonische Abbildung vonAin die LokalisierungAS ist.
Aufgabe 23
Sei ϕ: A→B ein Epimorphismus zwischen den kommutativen Ringen A und B.
Zeige: Die Zuordnungen
I7→ϕ(I) ϕ−1(J)←[J
vermitteln eine Bijektion zwischen der Menge der
Ideale Primideale maximalen Ideale
I von A
mitkerϕ⊆Iund der Menge
Ideale Primideale maximalen Ideale
vonB.
Aufgabe 24
SeiAein kommutativer Ring undS⊆Amultiplikativ. Zeige: Die Zuordnungen
p7→S−1ιS(p) :=na¯
¯
s |a∈p, s∈So ι−1S (q)←[q
vermitteln eine Bijektion zwischen der Menge der PrimidealepvonAmitp∩S =∅ und der Menge der Primideale vonAS.
Aufgabe 25
Finde jeweils einmöglichst kreatives Beispiel für
(a) einen kommutativen Ring mit einem Element, das irreduzibel aber nicht prim ist,
(b) einen kommutativen Ring mit einem Element6= 0, das prim aber nicht irredu- zibel ist,
(c) einen faktoriellen Ring mit genau zwei primen Hauptidealen.
Aufgabe G
SeiR ein kommutativer Ring.
(a) Zeige, dass die folgenden zwei Aussagen äquivalent sind:
(i) Rbesitzt genau ein maximales Ideal.
(ii) RrR× ist ein Ideal vonR.
(b) Seip⊆Rein Primideal. SeiS:=Rrp.Zeige, dass die LokalisierungS−1Rdie Eigenschaften aus (a) erfüllt.
