Universität Konstanz Sabine Burgdorf Fachbereich Mathematik und Statistik Markus Schweighofer Wintersemester 2017/2018
Übungsblatt 14 zur Einführung in die Algebra
Abgabebis Montag, den 12. Februar 2018, 11.44 Uhr in die Briefkästen auf F4.
Aufgabe 49
Seienk, m, n∈N,mk=n,L:=Fpn undK:=Fpm.
(a) Begründe, warum die KörpererweiterungL|K galoissch ist.
(b) Diem-fache IterationΦmL des Frobenius-AutomorphismusΦL ist ein Automor- phismus der KörpererweiterungL|K.
(c) [L:K] =k (d) #Aut(L|K) =k
(e) ΦmL erzeugt die Automorphismengruppe vonL|K.
(f) Aut(L|K)∼=Ck
Aufgabe 50
SeiKein Körper undζein Element der endlichen Ordnungnin der multiplikativen Gruppe K× von K (eine sogenannte primitive n-te Einheitswurzel). Sei a ∈ K× undx∈Keine Nullstelle vonf :=Xn−a. SetzeL:=K(x). Zeige:
(a) Die vonζ erzeugte Untergruppe hζi vonK× ist isomorph zu Cn und besteht genau aus den Nullstellen vonXn−1.
(b) L|K ist eine Galoiserweiterung.
(c) Für alleσ∈Aut(L|K)istσ(x)eine Nullstelle vonf.
(d) Die Abbildungϕ: Aut(L|K)→ hζi, σ7→ σ(x)x ist eine Gruppeneinbettung.
(e) Aut(L|K)ist zyklisch.
Aufgabe 51
(a) SeiL|K eine Körpererweiterung mitcharK6= 2. Zeige [L:K]≤2⇔ ∃a∈K:L=K(√
a).
Hinweis: Mache eine „quadratische Ergänzung“.
(b) Sei M ⊆ C mit {0,1} ⊆ M, K := Q(M ∪M∗) wie auf dem letzten Blatt unda∈C. Zeigea∈ ∧^ M genau dann, wenn esn∈N0 und Zwischenkörper F0, . . . , Fn von C|K mit K = F0 ⊆ F1 ⊆ · · · ⊆ Fn gibt mit a ∈ Fn und [Fk :Fk−1] = 2fürk∈ {1, . . . , n}.
Hinweis:Zeige, um leichter Induktion durchführen zu können, dass sogarFn∗= Fn gewählt werden kann.
(c) Zeige, dass das regelmäßige7-Eck nicht ausM ={0,1} konstruierbar ist.
Hinweis: Bestimme den Grad des Minimalpolynoms vone2π
◦ı
7 überQ.
Aufgabe 52
SeiLder Zerfällungskörper von (a) X4−20X2+ 98∈Q[X]
(b) X4−8X2+ 9∈Q[X]
überQ. Bestimme ein primitives Element vonL|Q, die GaloisgruppeAut(L|Q)und alle Zwischenkörper vonL|Q.
Aufgabe O
Seip∈P,L der Zerfällungskörper vonf :=Xp−2∈Q[X]überQ,ζ:=e2π
◦ı p ∈C undG:= Aut(L|Q).
(a) Zeige, dassf in Q[X]irreduzibel ist.
(b) Zeige L=Q(ζ,√p 2).
(c) Zeige[L:Q] =p(p−1).
(d) Betrachte die additive Gruppe Z/hpi und die multiplikative Gruppe F×p des KörpersFp. Zeige, dass
ϕ:F×p →Aut(Z/hpi), a7→(b7→ab) ein wohldefinierter Gruppenisomorphismus ist.
(e) Zeige, dass die Abbildung G→Z/hpioϕF×p
σ7→(khpi, `(p))falls k, `∈Zmitσ(√p
2) =ζk√p
2undσ(ζ) =ζ` ein wohldefinierter Gruppenisomorphismus ist.
