Einführung in die Algebra, Übungsblatt 5, Lösungsvorschlag

Universität Konstanz Christoph Hanselka Fachbereich Mathematik und Statistik Markus Schweighofer Wintersemester 2014/2015

Einführung in die Algebra, Übungsblatt 5, Lösungsvorschlag

Aufgabe 2. Es bezeichne Aut_R

(

_H

)

die Gruppe derR-linearen Ringautomorphismen vonH. Zeige:

(a) R³

= {

a

∈

_H

|

a²

∈

_R≤0

}

(b) JederR-lineare Ringendomorphismus vonH liegt in Aut_R

(

_H

)

, bildet R³ auf R³ ab und erhält die Norm aufR³.

(c) Φ: Aut_R

(

_H

) →

_SO3, ϕ

7→

ϕ

|

_R3 ist ein Isomorphismus, wobei wir einen Vektor- raumendomorphismus des R³ mit seiner Darstellungsmatrix bezüglich der Stan- dardbasis identifizieren.

(d) ι: Aut_R

(

_H

) →

Aut

(

_H^×

)

, ϕ

7→

ϕ

|

_H^× ist eine Einbettung.

(e) Inn

(

_H^×

) ⊆

ι

(

Aut_R

(

_H

))

.

(f) Wir haben einen Gruppenisomorphismus

Inn

(

_H^×

) →

Inn

(

_H^×_/R^×

)

c_a

7→

c_a

und füra,h

∈

_H^× istc_a

(

h

) =

aha^∗.

Lösungsvorschlag. Im folgenden benutzen wir öfters, dass nach 1(b) für alle v

∈

_R³ gilt

v²

=

v

×

v

| {z }

=0

−h

v,v

i = −k

v

k

²

∈

_R≤0.

(a) Aus der eben gemachten Beobachtung folgt sofort „

⊆

“. Um „

⊇

“ zu zeigen, sei a

=

r

+

v

∈

_H mit r

∈

_R und v

∈

_R³ und a²

∈

_R≤0. Zu zeigen ist r

=

0. Da R

3 (

r

+

v

)

²

=

r²

+

v²

+

2rvist rv

=

0. Wärer

6=

0, so müsste also v

=

0 und damit a²

=

_r²

∈

_R>0sein im Widerspruch zu a²

∈

_R≤0. Also istr

=

_0.

(b) SeiϕeinR-linearer Ringendomorphismus vonH. Zu zeigen ist, dass ϕ

∈

Aut_R

(

_H

)

und dass für allev

∈

_R³ gilt ϕ

(

v

) ∈

_R³ und

k

ϕ

(

v

)k = k

v

k

.

ϕist injektiv: Da ϕ

(

₁

) =

₁

6=

_{0 ist ker}ϕein echtes Ideal des SchiefkörpersH, muss also das Nullideal sein. Ist nämlich I ein Ideal vonHmit 0

6=

a

∈

I so ist 1

=

a⁻¹a

∈

I

und damit I

=

_{H. Da} ϕR-linear undHein endlichdimensionalerR-Vektorraum ist, ist ϕaufgrund der Injektivität schon surjektiv, also ϕ

∈

Aut_R

(

_H

)

.

Sei nunv

∈

_R³. Dann ist

ϕ

(

v

)

²

=

ϕ

(

v²

) =

ϕ

(−k

v

k

²

) = −k

v

k

²ϕ

(

1

) = −k

v

k

²

∈

_R≤0 und nach (a) is deshalb ϕ

(

v

) ∈

_R³. Damit gilt auch

k

ϕ

(

v

)k

²

= −

ϕ

(

v

)

²

= k

v

k

².

(c) Nach (b) gilt für jedes ϕ

∈

Aut_R

(

_H

)

, dass ϕ

(

_R³

) ⊆

_R³ und wegen der Injektivität und der Linearität von ϕsogar ϕ

(

_R³

) =

_R³. Daher istΦ als Abbildung Aut_R

(

_H

) →

Aut_R

(

_R³

)

wohldefiniert. Es gilt deshalb natürlich

(

ϕ

◦

ψ

)|

_R3

=

ϕ

|

_R3

◦

ψ

|

_R3 für alle ϕ,ψ

∈

Aut_R

(

_H

)

, das heißt Φ ist ein Gruppenhomomorphismus. Sei ϕ

∈

Aut_R

(

_H

)

. Aufgrund der R-Linearität und ϕ

(

1

) =

1 ist ϕ

|

_R

=

id_R. Ist nun zusätzlich ϕ

|

_R3

=

id_R3 so ist ϕ

=

id_H, was die Injektivität von Φ zeigt. Außerdem ist ϕ

|

_R3 nach (b) normerhaltend und damit ϕ

|

_R3

∈

O₃. Zu zeigen ist noch dass imΦ

=

SO₃.

Hilfsbehauptung:SO3besteht genau aus den orientierungserhaltenden orthogona- len Matrizen, das heißt fürU

∈

O₃ gilt genau dann detU

=

1, wenn für alle v,w

∈

_R³ Uv

×

Uw

=

U

(

v

×

w

)

.¹

Begründung:Zunächst stellen wir fest, dass fürv,w,x

∈

_R³ det

(

x v w

) = h

x,v

×

w

i

wobei

(

x v w

)

die Matrix mit den Spalten x,v und wist. Dies sieht man unmittelbar durch Entwicklung nach der ersten Spalte. Sei nunU

∈

O₃,δ:

=

_detUundv,wlinear unabhängig undx:

=

v

×

w

6=

0.² Es gilt

h

Ux,Uv

×

Uw

i =

_det

(

_{Ux Uv Uw}

) =

_det

(

_U

(

_{x v w}

))

=

δdet

(

_{x v w}

) =

δ

k

x

k

²

=

δ

k

Ux

k

² (

∗

) Da außerdem

h

Ux,Uv

i = h

x,v

i =

0 und ebenso

h

Ux,Uw

i =

0 sindUxundUv

×

Uw linear abhängig.³Zusammen mit (

∗

) ist somitUx

=

Uv

×

Uwgenau dann, wennδ

=

1.

Damit ist unsere Hilfsbehauptung gezeigt.

Ist nunϕ

∈

Aut_R

(

_H

)

, so ist ϕ_R3 nicht nur normerhaltend, sondern für allev,w

∈

_R³ gilt wegen

ϕ

(

v

) ×

ϕ

(

w

) − h

ϕ

(

v

)

,ϕ

(

w

)i =

ϕ

(

v

)

ϕ

(

w

) =

ϕ

(

vw

) =

ϕ

(

v

×

w

− h

v,w

i)

=

ϕ

(

v

×

w

) − h

v,w

i

und

h

ϕ

(

v

)

,ϕ

(

w

)i = h

v,w

i

(eine normerhaltende lineare Abbildung erhält bekanntlich auch das Skalarprodukt wegen der Polarisationsformel) auch ϕ

(

v

) ×

ϕ

(

w

) =

v

×

w.

1Siehe dazu auch https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt sowie https://de.wikipedia.

org/wiki/Drei-Finger-Regel.

2vundwsind genau dann linear abhängig, wennv×w=_Uv×Uw=_0.

3dim{v,w}^⊥=1

Also ist ϕ

|

_R3 auch kreuzprodukterhaltend und liegt damit nach der Hilfsbehauptung in SO₃. Ist nun umgekehrtU

∈

SO₃, so ist durch

ϕ:H

→

_H

r

+

v

7→

r

+

Uv

(

r

∈

_R,v

∈

_R³

)

ein R-Vektorraumautomorphismus gegeben, der nach der umgekehrten Argumen- tation wie eben auch ein Ringhomomorphismus ist, für welchen offensichtlich gilt ϕ

|

_R3

=

U. Das zeigt, dassΦsurjektiv ist.

(d) Da für alle ϕ

∈

Aut_R

(

_H

)

gilt, dass ϕ

(

_H^×

) =

_H^×, istι ein wohldefinierter Grup- penhomomorphismus. Da außerdem für alle ϕ

∈

Aut_R

(

_H

)

gilt dass ϕ

(

0

) =

0 und H^×

=

_H

\ {

0

}

, istι zudem injektiv.

(e) Seia

∈

_H^×. Wir definieren

ec_a: H

→

_H x

7→

axa⁻¹

Dann ist ec_a wie man leicht sieht ein R-linearer Ringautomorphismus, liegt also in Aut_R

(

_H

)

und offensichtlich istι

(

_eca

) =

ca.

(f) Es ist leicht zu sehen, dass die Abbildung, nennen wir sieγ, wohldefiniert ist. Sind nämlich a,b

∈

_H^×mitc_a

=

c_b, d.h. für alle h

∈

_H^×giltaha⁻¹

=

bhb⁻¹so gilt offenbar auch für jedesh

∈

_H^×_/R^×, dassaha⁻¹

=

aha⁻¹

=

bhb⁻¹

=

bhb⁻¹, alsoc_a

=

c_b. Ebenso leicht sieht man die Homomorphie. Sind nämlicha,b

∈

_H^×, so ist

γ

(

c_a

◦

c_b

) =

γ

(

c_ab

) =

c_ab

=

c_a

◦

c_b

=

γ

(

c_a

) ◦

γ

(

c_b

)

.

Noch offensichtlicher ist die Surjektivität. Um die Injektivität zu zeigen, sei nun a

∈

H^× mit γ

(

c_a

) =

id_H^×_/R^×. Zu zeigen ist, dass c_a

=

id_H^× ist, was gleichbedeutend damit ist, dass a im Zentrum vonH^× liegt. Sei nun v

∈

_R³ und h :

=

1

+

v. Da nach Voraussetzung

h

=

c_a

(

h

) =

c_a

(

h

)

gibt es einλ

∈

_R^×mitλh

=

c_a

(

h

)

. Dann ist aber

λ

+

λv

=

λh

=

c_a

(

h

) =

c_a

(

1

+

v

) =

1

+

c_a

(

v

)

also λ

=

1 und somit auch ca

(

v

) =

v. Dann ist also ca

|

_R3

=

id_R3 und damit schon c_a

=

id_H.

Zusatzaufgabe für Interessierte.

(a) Es istca

∈

Inn

(

_H^×

)

mittelsΦ

◦

ι⁻¹als Rotation imR³an der DrehachseRvum den Winkel 2 arg

(

r

+

^◦ı

k

v

k)

gegen den Uhrzeigersinn aufgefasst werden kann. Dabei sei die Uhr im Nullpunkt zentriert, senkrecht zu v stehend und das Ziffernblatt sei dem Vektorvzugewandt.⁴

Für c

= |

c

|

e

◦ıα

∈

_Cundα

∈ [

0, 2π

)

sei dabei arg

(

c

)

:

=

αdasArgumentvonc.

Hinweis:Argumentiere, warum man ohne Einschränkung

k

v

k =

1 und dann mit Aufgabe 2(c) sogar v

=

i annehmen kann. Berechne c_a

(

i

)

, c_a

(

j

)

und c_a

(

k

)

und vergleiche dies mit der Multiplikation in der komplexen Zahlenebene. Beachte dabei dassxj

+

yk

= (

x

+

yi

)

jist.

(b) Benutze (a) und Aufgabe 2(c), um Inn

(

_H^×

) =

ι

(

Aut_R

(

_H

))

zu zeigen. Dies ist ein geometrischer Beweis des Satzes von Skolem-Noether für den Spezialfall von Quaternionen.

(c) Überlege oder recherchiere, warum (a) und (b) sowie Aufgabe 2(f) zum Beispiel in der 3D-Programmierung, von Nutzen sein kann.

Lösungsvorschlag.Wir führen folgende Sprechweise ein: Fürv

∈

_R³

\ {

0

}

bezeichnen wir die Drehung imR³ an der Drehachse Rv um den Winkelα

∈

_R gegen den Uhr- zeigersinn mit einer im Nullpunkt zentrierten senkrecht zu v stehenden Uhr, deren Ziffernblatt dem Vektorv zugewandt ist, einfach eine Drehung um den Winkelαam Vektorv.

(a) Es istRa :

= (

_Φ

◦

ι⁻¹

)(

ca

)

gegeben durch R_a: R³

→

_R³

w

7→

awa⁻¹

=

^awa

∗

k

a

k

^2.

Wir nehmen nun zunächst an, dassv

=

igilt und führen den allgemeinen Fall später darauf zurück. Es ist dannai

=

iaund deshalb Ra

(

i

) =

i. Außerdem gilt

Ra

(

_j

) =

_aja⁻¹

= (

r

+

i

)

j

(

r

−

i

)

k

a

k

²

= (

r

+

i

)

²j

k

a

k

²

=

a

k

a

k

2

j

und analog bekommen wir

R_ak

=

a

k

a

k

2

k.

4Siehe auchhttps://de.wikipedia.org/wiki/Korkenzieherregel.

Identifizieren wir nun in kanonischer WeiseC

=

_R

⊕

_R^◦ımitR

⊕

_Ri

⊆

_Hals Körper und alsR-Vektorraum mit reellem Skalarprodukt, so bekommen wir mittels

f: C

→

_Cj c

7→

cj

einen Isomorphismus der euklidischen Vektorräume C und Cj

=

_Rj

⊕

_{Rk. Und da} nach dem eben gezeigten

R_a

(

f

(

x

+

yi

)) =

R_a

(

xj

+

yk

) =

a

k

a

k

2

(

xj

+

yk

) =

f a

k

a

k

2

(

x

+

yi

)

!

gilt, ist f⁻¹

◦

Ra

◦

f durch Multiplikation mit der normierten komplexen Zahl

kaak

2

gegeben, welches einer Drehung in der komplexen Ebene gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel

arg a

k

a

k

2!

(∗)

=

2 arg a

k

a

k

=

2 arg

(

a

) =

2 arg

(

r

+

^◦ı

) =

2 arg

(

r

+

^◦ı

k

v

k)

entspricht.⁵Der Isomorphismus f identifiziert dabei die komplexe Ebene mitRj

⊕

_Rk derart, dass isenkrecht nach oben heraussteht.⁶ Das sichtbar aufC liegende Ziffern- blatt ist also nach Anwenden von f dem Vektor izugewandt. Das zeigt also den Fall v

=

i.

Nun zeigen wir, warum wir zunächst

k

v

k =

1 annehmen können. Für beliebiges λ

∈

_{R>0 gilt}c_a

=

c_λa und arg

(

λr

+

^◦ı

k

λv

k) =

_arg

(

λ

(

r

+

^◦ı

k

v

k)) =

_arg

(

r

+

^◦ı

k

v

k)

_sowie Rv

=

Rλv. Außerdem ist auch die Orientierung der Uhr bezüglichvundλv⁰ dieselbe.

Für λ :

= k

v

k

⁻¹ zeigt dies also, dass ohne Einschränkung

k

v

k =

1 angenommen werden darf.

Da nun

k

v

k =

1 können wir U

∈

SO3 mitUv

=

i wählen.⁷ Wir setzen nun ϕ :

=

Φ⁻¹

(

U

) ∈

Aut_R

(

_H

)

. Dann istϕ

(

a

) =

r

+

Uv

=

r

+

i. Definieren wir wie obenR_ϕ(a):

= (

_Φ

◦

ι⁻¹

)(

c_ϕ(a)

)

so bekommen wir fürw

∈

_R³

R_ϕ(a)

(

w

) =

ϕ

(

a

)

wϕ

(

a

)

⁻¹

=

ϕ

(

aϕ⁻¹

(

w

)

a⁻¹

) = (

ϕ

◦

R_a

◦

ϕ⁻¹

)(

w

) =

UR_a

(

U⁻¹w

)

. Nach dem vorhin Gezeigten ist R_ϕ(a) die Drehung um den Winkel 2 arg

(

r

+

^◦ı

)

am Vektori. Damit ist alsoR_a

=

U⁻¹R_ϕ(a)UDrehung um denselben Winkel

2 arg

(

r

+

^◦ı

) =

2 arg

(

r

+

^◦ı

k

v

k)

5Bei (∗) gilt tatsächlich Gleichheit, nicht nur modulo 2π, da der Imaginärteil vonaund damit auch von

a

kak positiv ist. Also arg

a kak

<π.

6Beachte etwa die Drei-Finger-Regel: Daumen×Zeigefinger=Mittelfinger entsprichtj×k=i.

7Sei etwa vdie erste Zeile vonU und ergänze zu einer Orthonormalbasis. Vertausche dann ggf. die anderen beiden Zeilen um Determinante 1 zu bekommen.

am VektorU⁻¹i

=

v.

Kurz zusammengefasst können wir es so formulieren, dass wir R³ so drehen kön- nen, dassv

=

igilt und dabei nach 2(c) die algebraische Struktur vonHnicht ändern.

(b) Wir zeigen zunächst, dass jedes Element U

∈

SO₃ eine Drehung um eine Achse ist. Als erstes sehen wir, dassU den Eigenwert 1 hat: Das charakteristische Polynom vonU hat Grad 3 und somit eine reelle Nullstelle, d.h.Uhat einen reellen Eigenwert welcher entweder 1 oder

−

1 ist, da U

∈

O₃. Ist er

−

1 sei dazuw ein Eigenvektor. Es istW :

=

w^⊥

∼ =

_R²invariant unterUundU

|

_W

∈

O₂. Da 1

=

detU

= (−

1

) ·

detU

|

_W ist detU

|

_W eine Drehspiegelung und besitzt somit einen Fixpunkt, d.h. den Eigenwert 1, welcher auch ein Eigenwert vonU ist. Sei also nunv ein Eigenvektor zum Eigenwert 1. Wieder istV :

=

v^⊥ invariant und nunU

|

_V

∈

SO₂, also eine Drehung in der Ebene V. Das bedeutet, dassUeine Drehung an der AchseRv ist.

Sei nun id_H

6=

ϕ

∈

Aut_R

(

_H

)

. Dann gibt es also ein v

∈

S³ derart, dass U :

=

Φ

(

ϕ

) ∈

SO₃ eine Drehung an v um den Winkel 2αist, wobei α

∈ (

0,π

)

. Setzen wir a

=

cosα

+ (

sinα

)

v, so ist α

=

arg

(

e

◦ıα

) =

arg

(

cosα

+

^◦ı

k(

sinα

)

v

k)

. Nach (a) gilt also Φ

(

ϕ

) =

U

=

_Φ

(

ι

(

c_a

))

, alsoϕ

=

ι

(

c_a

)

. Beachte, dass hier sinα

6=

0 einging.

(c) Es sollen hier nur ein paar Aspekte skizziert werden, die hoffentlich verdeutlichen, dass Quaternionen nicht nur ein für die Algebra interessantes abstraktes Konstrukt, sondern ebenso wie die komplexen Zahlen in der Anwendung von ganz konkretem Nutzen sind. Das Beispiel 3D-Programmierung eignet sich hierfür besonders gut, da dies sowohl ein sehr anschaulicher Bereich ist, und gleichzeitig weit über die Spieleent- wicklung hinaus auch wichtige Anwendung findet, wie etwa in der Robotik, Luftfahrt, Raumfahrt uvm.

Die beiden Aufgaben (a) und (b) zeigen, dass wir mittels Quaternionen Drehungen im dreidimensionalen Raum beschreiben können. Aus rechentechnischer Sicht ergeben sich dabei z.B. folgende Vorteile

• Eine Quaternion wird durch nur 4 reelle Zahlen beschrieben, eine orthogonale 3

×

3 Matrix hingegen durch 9.

• Da c_ab

=

c_a

◦

c_b für alle a,b

∈

_H, ist die Verkettung von Drehungen durch das Produkt der zugehörigen Quaternionen beschrieben. Multiplikation zwei- er Quaternionen benötigt weniger Rechenoperationen als Multiplikation zweier Matrizen.

• Beim numerischen Multiplizieren vieler Quaternionen häufen sich auf dem Rechner Ungenauigkeiten in der Berechnung an. Das Ergebnis beschreibt im- merhin trotzdem wieder eine Drehung. Beim numerischen Multiplizieren von orthogonalen Matrizen, kann das Ergebnis hingegen weit davon entfernt sein, wieder eine orthogonale Matrix zu sein.

• Die Tatsache, dass c_a

=

c_λa für λ

∈

_R^× kann bei der Berechnung von Quater- nionen hilfreich sein, da nicht skaliert werden muss (möglicherweise durch eine verhältnismäßig aufwendig berechnete Wurzel vona^∗a).

• Gegenüber einer anderen üblicherweise verwendeten Beschreibung von Drehun- gen, den sogenannten eulerschen Winkeln gibt es bei Quaternionen keine „Sin- gularitäten“ wie die kardanische Blockade.⁸

• Sind zwei Orientierungen eines Objektes im Raum gegeben, so kann mithilfe des SLERP⁹ ein flüssiger Übergang von der einen zur anderen animiert werden, in dem die Quaternionen interpoliert werden.

• Tatsächlich werden Quaternionen in der 3D-Grafikprogrammierung wie in Auf- gabe 2(f) verwendet. Dabei können wir R³ (anders als bei Aufgabe 1 beschrie- ben) mittels f : v

7→

₁

+

v in H^×/R^× eingebettet auffassen. Das Rechnen in H^×/R^× ist aus mehrerlei Sicht einfacher. Z.B gilt dort wie in der Aufgabe ge- zeigtaxa⁻¹

=

axa^∗, d.h. wir sparen uns bei der Berechnung den Faktor _ka¹_k2. Die Umkehrabbildung f⁻¹ : r

+

v

7→

¹_rvist heutzutage in Grafikkarten festverdrah- tet und wird am Ende aller geometrischen Berechnungen sowieso durchgeführt.

Das Stichwort „homogene Koordinaten“ könnte bei einer Suche zu diesem The- ma für Interessierte hilfreich sein.

Ein ganz anderer Aspekt, der allerdings mit den hier genannten wenig zu tun hat, ist die Verwendung von quaternionischer Fouriertransformation in der Bild- und Signal- verarbeitung.

8http://de.wikipedia.org/wiki/Gimbal_Lock

9https://en.wikipedia.org/wiki/Slerp- Die ersten beiden dort aufgelisteten externen Links führen außerdem zu interessanten Artikel zum Thema Quaternionen.