Gruppentheorie I (Algebraische Gruppen) – Blatt 10

Prof. Dr. Benjamin Klopsch Wintersemester 2020–21

Gruppentheorie I (Algebraische Gruppen) – Blatt 10

Abgabe der Lösungen am 18.01.2021, bis 10.30 Uhr per E-Mail

Bitte reichen Sie schriftliche Lösungen zu den Aufgaben 10.1 und 10.2 ein. Beachten Sie dabei die allgemeinen Abgabehinweise auf dem ersten Übungblatt und auf

http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/GruppenI_WS2021/.

Aufgabe 10.1 (4 Punkte)

Sei W ein endlich dimensionaler Vektorraum über einem Körper K, und seien σ, τ ∈ End_K(W)mit στ =τ σ. Zeigen Sie:

(a) Sind σ, τ nilpotent, so sind auch σ+τ und στ nilpotent.

(b) Sind σ, τ unipotent, so ist auch στ unipotent; im allgemeinen ist σ+τ jedoch nicht unipotent.

(c) Sind σ, τ diagonalisierbar, so sind auch σ+τ und στ diagonalisierbar.

Belegen Sie durch geeignete Beispiele, daß die positiven Aussagen in (a), (b) und (c) generell nicht mehr richtig sind, wenn die Bedingung στ =τ σ fallen gelassen wird.

Aufgabe 10.2 (4 Punkte)

(a) Zeigen Sie, daß über einem algebraisch abgeschlossenen Körper K mit char(K) /=2 die spezielle orthogonale Gruppe SO₂ isomorph zu der multiplikativen Gruppe Gm ist.

(b) Erläutern Sie, wieso die reelle spezielle orthogonale Gruppe SO₂(R) nicht isomorph zur reellen multiplikativen Gruppe R^∗ ist.

Aufgabe 10.3

Sei n∈N mit n ≥2, und sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper mit char(K) /=2.

SeiW ⊆SO_n die Teilmenge aller Elementex, deren Eigenwerte allesamt ungleich−1sind.

Beweisen Sie, daß sich jedes Element g ∈SO_n als ein Produkt g =x₁x₂x₃ von geeigneten Elementen x₁, x₂, x₃∈W schreiben läßt.

Hinweis. Seig∈SO_n. Verwenden Sie die multiplikative Jordanzerlegung g =g_sg_u. Überle- gen Sie sich, daß die Eigenwerte von g (und daher vong_s) von der Form

1, . . . ,1,−1, . . . ,−1, a₁, . . . , a₁, a₁⁻¹, . . . , a₁⁻¹, . . . , a_r, . . . , a_r, a_r⁻¹, . . . , a_r⁻¹

sind, wobei die Multiplizitäten vona_iunda_i⁻¹jeweils gleich groß sind und die Multiplizität von −1daher gerade ist. Führen Sie einen Basiswechsel durch, so daß gs Diagonalgestalt erhält, und bestimmen Sie die neue Strukturmatrix für die zugrundeliegende symmetri- sche Bilinearform. Betrachten Sie den Eigenraum von g_s zum Eigenwert −1. Beachten Sie, daß es über dem algebraisch abgeschlossenen Körper K bis auf Isomorphie nur ei- ne nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform gibt. Weiter gibt es in SO₂ ein Element, dessen Quadrat (^{−1 0}_{0 −1})ist. Bestimmen Sie so ein x∈W mit x²g∈W.

Bemerkung. Erinnern Sie sich an Aufgabe 9.2. Dort darf fürW die oben explizit benann- te Menge verwendet werden. Die Produktzerlegung, die jetzt hergeleitet wurde, kann wie in Aufgabe 9.2 beschrieben dazu verwendet werden, um zu folgern, daß SO_n die 1-Komponente der linearen algebraischen Gruppe O_n ist.

Bitte wenden!

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Gruppentheorie I (Algebraische Gruppen) – Blatt 10 S. 2/2

Aufgabe 10.4

SeienV, W endlich dimensionale Vektorräume über einem Körper K. Seien σ∈End_K(V) und τ ∈End_K(W)lineare Endomorphismen, deren Eigenwerte alle bereits in K liegen.

Zeigen Sie für σ⊗τ∈End_K(V ⊗_KW):

(σ⊗τ)_s =σs⊗τs und, sofern σ, τ invertierbar sind, (σ⊗τ)_u=σu⊗τu.