Prof. Dr. Benjamin Klopsch Wintersemester 2020–21
Gruppentheorie I (Algebraische Gruppen) – Blatt 3
Abgabe der Lösungen am 16.11.2020, in der Vorlesung oder bis 10.30 Uhr per E-Mail Bitte reichen Sie schriftliche Lösungen zu den Aufgaben 3.2 und 3.3 ein. Beachten Sie dabei die allgemeinen Abgabehinweise auf dem ersten Übungblatt und auf
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/GruppenI_WS2021/.
Aufgabe 3.1
Sei R≤S eine ganze Erweiterung kommutativer Ringe mit1. SeiQ⊴primS ein Primideal und P =R∩Q. Zeigen Sie:
(a) P ⊴primR ist ein Primideal.
(b) Q⊴maxS ist ein maximales Ideal genau dann, wennP ⊴maxR eines ist.
Aufgabe 3.2 (4 Punkte)
SeiKein Körper,K der algebraische Abschluß vonK, und sein∈N. Wie in der Vorlesung eingeführt, bezeichneV(I) ⊆Kndie Nullstellenmenge vonI⊆K[X1, . . . , Xn]undI(V) ⊴ K[X1, . . . , Xn] das Verschwindungsideal vonV ⊆Kn.
Zeigen Sie:
(a) I(∅) =K[X1, . . . , Xn]und I(Kn) =0.
(b) Ist V ⊆Kn eine algebraische Menge, so gilt V(I(V)) =V. (c) Sind V, W ⊆Kn, so giltI(V ∪W) =I(V) ∩I(W).
Aufgabe 3.3 (4 Punkte)
Sei K = K ein algebraisch abgeschlossener Körper und n ∈ N. Welche der folgenden Teilmengen von Kn sind algebraische Mengen? (Begründen Sie knapp Ihre Antwort.)
(a) Kn und die leere Menge ∅;
(b) beliebige endliche Teilmengen von Kn;
(c) für K=C und n=2die Menge {(w, z) ∈C2∣Re(w) =Im(z)};
(d) für K=C und n=2die Menge {(z2, z3) ∣z ∈C}.
Aufgabe 3.4
Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Zeigen Sie, daß die Menge Spec(R) aller Primidea- le von R, das sogenannte Spektrum von R, eine Topologie besitzt, bezüglich derer die abgeschlossenen Teilmengen von Spec(R)genau die Mengen
Z(I) = {P ∈Spec(R) ∣P ⊇I}
sind, wobei I alle Ideale vonR durchläuft.
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