Gruppentheorie I (Algebraische Gruppen) – Blatt 11

Prof. Dr. Benjamin Klopsch Wintersemester 2020–21

Gruppentheorie I (Algebraische Gruppen) – Blatt 11

Abgabe der Lösungen am 25.01.2021, bis 10.30 Uhr per E-Mail

Bitte reichen Sie schriftliche Lösungen zu den Aufgaben 11.1 und 11.2 ein. Beachten Sie dabei die allgemeinen Abgabehinweise auf dem ersten Übungblatt und auf

http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/GruppenI_WS2021/.

SeiKein algebraisch abgeschlossener Körper. Alle Varietäten und algebraischen Gruppen seien überK definiert.

Aufgabe 11.1 (4 Punkte)

Bestimmen Sie die additive und ggf. multiplikative Jordanzerlegung für den Endomor- phismus σ∈End_K(V)mit Koordinatenmatrix

[σ]_B=

⎛

⎜

⎝

1 5 2 0 1 3 0 0 2

⎞

⎟

⎠

∈Mat₃(K)

bezüglich der Standardbasis B= (e₁, e₂, e₃) von V =K³. Begründen Sie Ihre Antwort.

Hinweis. Beachten Sie, daß Sie hinsichtlich der Charakteristik vonK ggf. eine Fallunter- scheidung zu treffen haben.

Aufgabe 11.2 (4 Punkte)

Sei G eine Zariski-abgeschlossene Untergruppe einer linearen algebraischen Gruppe H überK, und sei

I =I_K[H](G) = {f∈K[H] ∣ ∀x∈G∶f(x) =0} das Verschwindungsideal vonG in K[H].

Zeigen Sie: G= {g∈H∣Iρ^∗_g ⊆I}. Aufgabe 11.3

Sei S ⊆ Mat_n(K) eine Menge von paarweise miteinander kommutierenden Matrizen.

Zeigen Sie möglichst direkt: Es gibt eine Matrix g ∈GLn(K) dergestalt, daß g⁻¹Sg aus oberen Dreiecksmatrizen besteht.

Aufgabe 11.4

Sei n∈N. Bestimmen Sie die Dimensionen der linearen algebraischen GruppenGL_n,SL_n, O_n, D_n (invertierbare Diagonalmatrizen),B_n (invertierbare obere Dreiecksmatrizen) und U_n (invertierbare obere Dreiecksmatrizen mit Diagonaleinträgen 1).

Hinweis. Warten Sie mit der Bearbeitung der Aufgabe, bis in der Vorlesung der Dimen- sionsbegriff eingeführt wurde.

S. 1/1