Gruppentheorie I (Algebraische Gruppen) – Blatt 9

(1)

Prof. Dr. Benjamin Klopsch Wintersemester 2020–21

Gruppentheorie I (Algebraische Gruppen) – Blatt 9

Abgabe der Lösungen am 11.01.2021, bis 10.30 Uhr per E-Mail

Bitte reichen Sie schriftliche Lösungen zu den Aufgaben 9.2 und 9.4 ein. Beachten Sie dabei die allgemeinen Abgabehinweise auf dem ersten Übungblatt und auf

http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/GruppenI_WS2021/.

Aufgabe 9.1

Geben Sie ein Beispiel für einen Morphismus α ∶ V → W zwischen affinen algebraischen Varietäten V und W über einem algebraisch abgeschlossenen Körper K an, dessen Bild α ( V ) nicht Zariski-abgeschlossen in W ist.

Aufgabe 9.2 (4 Punkte)

Sei K = K ein algebraisch abgeschlossener Körper mit char ( K ) /= 2. Betrachten Sie die orthogonale Gruppe

O

_n

= { x ∈ Mat

_n

( K ) ∣ x

^tr

⋅ x = 1 } sowie die spezielle orthogonale Gruppe SO

_n

= O

_n

∩ SL

_n

.

(a) Zeigen Sie, daß die sogenannte Cayley-Abbildung x ↦ ( 1 + x )

⁻¹

( 1 − x ) einen Isomor- phismus zwischen einer geeigneten nicht-leeren, offenen Teilmenge W von SO

_n

und einer nicht-leeren offenen Teilmenge der Varietät

V

_n

= { a ∈ Mat

_n

( K ) ∣ a + a

^tr

= 0 } aller schiefsymmetrischen n × n-Matrizen liefert.

(b) Beweisen Sie unter der zusätzlichen Voraussetzung, daß sich zu passendem r ∈ N jedes Element g ∈ SO

n

als ein Produkt g = x

1

⋯ x

r

von r geeigneten Elementen x

1

, . . . , x

r

∈ W schreiben läßt: Die 1-Komponente der linearen algebraischen Gruppe O

_n

ist gerade SO

_n

. Aufgabe 9.3

Sei W ein endlich dimensionaler Vektorraum über einem Körper K, und sei σ ∈ End

K

( W ) . Zeigen Sie, daß die folgenden Bedingungen paarweise äquivalent sind:

(a) σ ist nilpotent, d. h., es existiert ein m ∈ N mit σ

^m

= 0.

(b) σ

ⁿ

= 0 für n = dim

_K

( W ) .

(c) Alle Eigenwerte von σ (in einem algebraischen Abschluß von K) sind gleich 0.

(d) Das charakteristische Polynom von σ ist gleich X

ⁿ

für n = dim

_K

( W ) .

Aufgabe 9.4 (4 Punkte)

(a) Sei W ein endlich dimensionaler Vektorraum über einem Körper K, und sei σ ∈ End

K

( W ) . Sei f = ∑

^mi=0

c

i

X

ⁱ

∈ K [ X ] .

Zeigen Sie: Ist a ∈ K ein Eigenwert von σ, so ist f ( a ) ∈ K ein Eigenwert von f ( σ ) =

∑

^mⁱ⁼⁰

c

i

σ

ⁱ

∈ End

K

( W ) .

(b) Finden Sie einen Endomorphismus σ ∈ End

_R

(R

²

) des reellen Standardvektorraums R

²

dergestalt, daß σ

²

diagonalisierbar, aber σ selbst nicht diagonalisierbar über R ist.

Bitte wenden!

S. 1/2

(2)

Gruppentheorie I (Algebraische Gruppen) – Blatt 9 S. 2/2

Aufgabe 9.5

Da die Sylvesterparty dieses Jahr ausfällt, hat Onkel Erwin, der Spaßvogel der Familie, eine große Schachtel geschickt. In dieser liegen 4 kleinere Schachteln. In jeder dieser klei- neren Schachteln liegt jeweils entweder ein Gummibärchen oder es liegen darin 4 weitere noch kleinere Schachteln. In jeder dieser noch kleineren Schachteln liegt jeweils entweder ein Gummibärchen oder es liegen darin noch weitere 4 Schachteln, usw. Insgesamt sollen es genau 673 Schachteln sein, in denen kein Gummibärchen liegt.

Bestimmen Sie möglichst genau, wie viele Gummibärchen die Kinder, die Onkel Erwins Sendung erhalten haben, im Laufe des langen Sylvesterabends auspacken können.

Gruppentheorie I (Algebraische Gruppen) – Blatt 9

Prof. Dr. Benjamin Klopsch Wintersemester 2020–21

Gruppentheorie I (Algebraische Gruppen) – Blatt 9

Abgabe der Lösungen am 11.01.2021, bis 10.30 Uhr per E-Mail

Bitte reichen Sie schriftliche Lösungen zu den Aufgaben 9.2 und 9.4 ein. Beachten Sie dabei die allgemeinen Abgabehinweise auf dem ersten Übungblatt und auf

http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/GruppenI_WS2021/.

Aufgabe 9.1

Geben Sie ein Beispiel für einen Morphismus α ∶ V → W zwischen affinen algebraischen Varietäten V und W über einem algebraisch abgeschlossenen Körper K an, dessen Bild α ( V ) nicht Zariski-abgeschlossen in W ist.

Aufgabe 9.2 (4 Punkte)

Sei K = K ein algebraisch abgeschlossener Körper mit char ( K ) /= 2. Betrachten Sie die orthogonale Gruppe

O

= { x ∈ Mat

( K ) ∣ x

⋅ x = 1 } sowie die spezielle orthogonale Gruppe SO

= O

∩ SL

.

(a) Zeigen Sie, daß die sogenannte Cayley-Abbildung x ↦ ( 1 + x )

( 1 − x ) einen Isomor- phismus zwischen einer geeigneten nicht-leeren, offenen Teilmenge W von SO

und einer nicht-leeren offenen Teilmenge der Varietät

V

= { a ∈ Mat

( K ) ∣ a + a

= 0 } aller schiefsymmetrischen n × n-Matrizen liefert.

(b) Beweisen Sie unter der zusätzlichen Voraussetzung, daß sich zu passendem r ∈ N jedes Element g ∈ SO

als ein Produkt g = x

⋯ x

von r geeigneten Elementen x

, . . . , x

∈ W schreiben läßt: Die 1-Komponente der linearen algebraischen Gruppe O

ist gerade SO

. Aufgabe 9.3

Sei W ein endlich dimensionaler Vektorraum über einem Körper K, und sei σ ∈ End

( W ) . Zeigen Sie, daß die folgenden Bedingungen paarweise äquivalent sind:

(a) σ ist nilpotent, d. h., es existiert ein m ∈ N mit σ

= 0.

(b) σ

= 0 für n = dim

( W ) .

(c) Alle Eigenwerte von σ (in einem algebraischen Abschluß von K) sind gleich 0.

(d) Das charakteristische Polynom von σ ist gleich X

für n = dim

( W ) .

Aufgabe 9.4 (4 Punkte)

(a) Sei W ein endlich dimensionaler Vektorraum über einem Körper K, und sei σ ∈ End

( W ) . Sei f = ∑

c

X

∈ K [ X ] .

Zeigen Sie: Ist a ∈ K ein Eigenwert von σ, so ist f ( a ) ∈ K ein Eigenwert von f ( σ ) =

∑

c

σ

∈ End

( W ) .

(b) Finden Sie einen Endomorphismus σ ∈ End

(R

) des reellen Standardvektorraums R

dergestalt, daß σ

diagonalisierbar, aber σ selbst nicht diagonalisierbar über R ist.

Bitte wenden!

S. 1/2

Gruppentheorie I (Algebraische Gruppen) – Blatt 9 S. 2/2

Aufgabe 9.5

Bestimmen Sie möglichst genau, wie viele Gummibärchen die Kinder, die Onkel Erwins Sendung erhalten haben, im Laufe des langen Sylvesterabends auspacken können.

Frohe Weihnachten und kommen Sie gut ins neue Jahr!