Gruppentheorie I (Algebraische Gruppen) – Blatt 8

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Prof. Dr. Benjamin Klopsch Wintersemester 2020–21

Gruppentheorie I (Algebraische Gruppen) – Blatt 8

Abgabe der Lösungen am 21.12.2020, bis 10.30 Uhr per E-Mail

Bitte reichen Sie schriftliche Lösungen zu den Aufgaben 8.2 und 8.4 ein. Beachten Sie dabei die allgemeinen Abgabehinweise auf dem ersten Übungblatt und auf

http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/GruppenI_WS2021/.

Sei K =K ein algebraisch abgeschlossener Körper, und sei n∈N. Aufgabe 8.1

Seien V = V(XY) ⊆ K² und W = V(Y(Y −X²)) ⊆ K². Zeigen Sie, daß V und W, jeweils ausgestattet mit der Zariski-Topologie, homöomorph zueinander sind. Erläutern Sie, warum die affinen algebraischen Varietäten(V,O_V)und (W,O_W)jedoch nicht isomorph zueinander sind.

Aufgabe 8.2 (4 Punkte)

Betrachten Sie die Abbildung η∶P^m×Pⁿ→P^mn+m+n,

((x₀∶. . .∶x_m),(y₀ ∶. . .∶y_n)) ↦ (x₀y₀∶. . .∶x₀y_n∶x₁y₀ ∶. . .∶x₁y_n∶. . . .∶x_my_n).

Zeigen Sie, daß das Bild von η eine Zariski-abgeschlossene Teilmenge B ⊆_abg P^mn+m+n bildet, und verifizieren Sie anhand geeigneter offener affiner Teilmengen, daß η einen Isomorphismus zwischen der Produktvarietät P^m×Pⁿ und B liefert.

Aufgabe 8.3

(a) Zeigen Sie, dass die additive und die multiplikative Gruppe, Ga und Gm, nicht isomorph zueinander sind.

(b) Zeigen Sie: Die in der Vorlesung vorgestellten algebraischen Gruppen Ga, Gm, SL_n, GL_n,D_n, B_n, U_n sind jeweils zusammenhängend.

Zeigen Sie im Gegensatz dazu: Für char(K) /= 2 ist die algebraische Gruppe O_n nicht zusammenhängend.

Aufgabe 8.4 (4 Punkte)

(a) Zeigen Sie: Das Zentrum Z(G) = {g ∈ G ∣ ∀x ∈ G ∶ gx = xg} einer algebraischen Gruppe ist eine (Zariski-)abgeschlossene Untergruppe von G.

(b) SeiGeine zusammenhängende algebraische Gruppe, undN ein endlicher Normalteiler von G. Zeigen Sie: Dann liegt N bereits im Zentrum vonG.

Hinweis. Betrachten Sie für y∈N die Abbildung G→N,x↦xyx⁻¹.

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