Prof. Dr. Benjamin Klopsch Wintersemester 2020–21
Gruppentheorie I (Algebraische Gruppen) – Blatt 1
Abgabe der Lösungen am 02.11.2020, in der Vorlesung oder bis 10.30 Uhr per E-Mail
Willkommen in der Vorlesung und den Übungen zur „Gruppentheorie I“!
Die Aufgaben auf diesem Blatt sind als Präsenzaufgaben für die erste Übungsstunde am 02.11. vorzubereiten, die letzte Aufgabe ggf. erst für eine spätere Besprechung. Bitte geben Sie zudem schriftliche Lösungen zu den Aufgaben 1.2 und 1.4 ab.
Bitte beachten Sie die allgemeinen Abgabehinweise auf
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/GruppenI_WS2021/.
Insbesondere sind Abgaben per E-Mail in einer einzelnen PDF-Datei vertretbarer Größe vorzunehmen; die Datei muß sich problemlos A4-formatig und schwarz-weiß ausdrucken lassen. Die relevante E-Mail-Adresse ist GruppentheorieWS20@hhu.de; bitte versenden Sie Ihre Nachricht von Ihrer offiziellen HHU-E-Mail-Adresse aus.
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Sei R ein kommutativer Ring mit 1, und sei K ein Körper.
Aufgabe 1.1
Belegen Sie durch Angabe eines konkreten Beispiels, daß eine endlich erzeugte kommu- tative R-Algebra im allgemeinen nicht endlich über R ist.
Aufgabe 1.2 (4 Punkte)
Sei n ∈ N und f ∈ K [ X
1, . . . , X
n] ∖ { 0 } . Ist K unendlich, dann existieren unendlich viele ( a
1, . . . , a
n) ∈ K
nmit f ( a
1, . . . , a
n) / = 0.
Hinweis. Schreiben Sie f als Polynom in X
nmit Koeffizienten aus K [ X
1, . . . , X
n−1] und verwenden Sie Induktion nach n.
Aufgabe 1.3
Zeigen Sie für n ∈ N , daß der Körper K ( X
1, . . . , X
n) aller über K rationalen Funktionen in n Unbestimmten als K -Algebra nicht endlich erzeugt ist.
Hinweis. Der Polynomring K [ X
1, . . . , X
n] ist gaußsch und besitzt unendlich viele paar- weise nicht zueinander assoziierte Primelemente. Jedes Element von K ( X
1, . . . , X
n) läßt sich als gekürzter Bruch von Polynomen schreiben. Führen Sie einen Widerspruchsbeweis.
Aufgabe 1.4 (4 Punkte)
Zeigen Sie, daß Z [
12
+
12
√
5 ] ganz über Z ist.
Zusatz. Ist Z [
12
+
12
