Gruppentheorie I (Algebraische Gruppen) – Blatt 6

Prof. Dr. Benjamin Klopsch Wintersemester 2020–21

Gruppentheorie I (Algebraische Gruppen) – Blatt 6

Abgabe der Lösungen am 07.12.2020, in der Vorlesung oder bis 10.30 Uhr per E-Mail Bitte reichen Sie schriftliche Lösungen zu den Aufgaben 6.3 und 6.5 ein. Beachten Sie dabei die allgemeinen Abgabehinweise auf dem ersten Übungblatt und auf

http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/GruppenI_WS2021/.

Sei K ein Körper mit algebraischem Abschluß K, und seien m, n ∈ N . Aufgabe 6.1

(a) Bestimmen Sie möglichst konkret die folgenden Tensorprodukte von Algebren:

C ⊗

Q [ X, Y ] , Q (

√

2 ) ⊗

Q (

√

3 ) , K [ X ] ⊗

K [ Y

, Y

] , F

⊗

Q , C ⊗

C . (b) Zeigen Sie: V = { i, − i } ⊆ C ist irreduzibel bzgl. der Zariski- R -Topologie, indem Sie den Koordinatenring R [V ] bestimmen.

Überlegen Sie sodann: V × V = {(i, i), (i, −i), (−i, i), (−i, −i)} ⊆ C

ist nicht irreduzibel bzgl. der Zariski- R -Topologie. Bestimmen Sie weiter die irreduziblen Komponenten!

Hinweis. Nutzen Sie ggf. die Identität (XY + 1)(XY − 1) = (X

+ 1)Y

− (Y

+ 1).

Zusatz. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis in (b) in Hinblick auf den Galoisautomorphismus, der durch komplexe Konjugation gegeben ist.

Aufgabe 6.2

Sei K = K algebraisch abgeschlossen und V ⊆ K

eine algebraische Menge. Es bezeichne MSpec(K [V ]) = {I ⊴ K[V ] ∣ I maximal} die Menge der maximalen Ideale des Koordina- tenrings K[V ] sowie Hom

(K [V ], K ) die Menge der K -Algebrenhomomorphismen von K [ V ] nach K . Beschreiben Sie kanonische Bijektionen V → MSpec ( K [ V ]) und MSpec(K [V ]) → Hom

(K[V ], K ).

Zusatz. Was passiert, wenn K nicht algebraisch abgeschlossen ist? Betrachten und be- schreiben Sie die Situation im Beispiel K = R .

Aufgabe 6.3 (4 Punkte)

(a) Welche Abbildungen ϕ∶ K → K sind stetig bzgl. der Zariski-(K-)Topologie? Begründen Sie Ihre Antwort, und folgern Sie: Jede Bijektion von K auf sich ist bereits ein Homöomor- phismus.

Zusatz. Welche Abbildungen ϕ∶ C → C sind stetig und welche Bijektionen sind Homöomor- phismen bzgl. der Zariski- R -Topologie?

(b) Bestimmen Sie alle Isomorphismen von der K-algebraischen Menge K auf sich, und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit demjenigen für Homöomorphismen aus (a).

(c) Es seien V = K und W = V(X

− Y

) ⊆ K

. Erläutern Sie: α∶ V → W , z ↦ (z

, z

) ist ein bijektiver Morphismus zwischen K -algebraischen Mengen. Ist α∶ V → W ein Ho- möomorphismus bzgl. der Zariski-(K-)Topologie?

Zusatz. Ist α∶ V → W ein Isomorphismus zwischen K-algebraischen Mengen?

Bitte wenden!

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Gruppentheorie I (Algebraische Gruppen) – Blatt 6 S. 2/2

Aufgabe 6.4

Die nachfolgenden Überlegungen sind fehlerhaft. Was ist schiefgelaufen?

Sei f ∈ K [X, Y ] irreduzibel. Dann ist f K[X, Y ] ein Primideal in K[X, Y ] und folglich das Nullstellengebilde V = V(f ) irreduzibel.

Offenbar ist V aber auch die Vereinigung disjunkter abgeschlossener Teilmengen, nämlich der Mengen W

= {a} × V(g

) für a ∈ K, wobei g

= f (a, Y ) ∈ K[Y ] durch Spezialisierung der ersten Koordinate entsteht. Eine ähnliche Zerlegung ergibt sich durch Spezialisierung der zweiten Koordinate. Für ∣ V ∣ ≥ 2 besteht wenigstens eine der Zerlegungen aus echten Teilmengen. Für K endlich ist daher V als endliche Vereinigung von echten abgeschlos- senen Teilmengen gar nicht irreduzibel. Ein ungewollter Widerspruch!

Aufgabe 6.5 (4 Punkte)

Sei K = K algebraisch abgeschlossen, und seien V ⊆ K

und W ⊆ K

algebraische Mengen. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Anzahlen der irreduziblen Kom- ponenten von V, W und der Anzahl der irreduziblen Komponenten von V × W ⊆ K

? (Welche Abschätzungen oder ggf. präzise Formeln gelten?)

Zusatz. Was passiert, wenn K nicht algebraisch abgeschlossen ist? Betrachten Sie die

Situation im Beispiel K = R und stellen Sie geeignete Vermutungen auf.