Vorkurs Mathematik im WiSe 2020/2021 (Variante B)
Dr. Regula Krapf Übungsblatt 9
Aufgabe 1. Gegeben ist das Wort LALLEN. Es geht nun darum, (möglicherweise unsinnige) Wörter aus diesen Buchstaben zu bilden.
(a) Wie viele solche Wörter gibt es insgesamt (mit sechs Buchstaben)?
(b) Wie viele Wörter beginnen und enden mit einem L?
(c) Wie viele Wörter gibt es, bei denen die drei L’s nebeneinander stehen?
(d) Wie viele Wörter mit drei Buchstaben gibt es?
Aufgabe 2. Wir betrachten zehn PunkteA, B, C, ..., J der Ebene, von denen keine drei auf einer Gerade liegen.
(a) Wie viele Geraden sind durch die Punkte bestimmt?
(b) Wie viele Dreiecke sind durch die Punkte bestimmt?
(c) Wir nehmen an, dass der PunktAmit dem PunktB, der PunktB mit dem Punkt C,. . . , und der Punkt J mit dem PunktA verbunden sind und ein Zehneck ergeben. Wie viele Diagonale besitzt dieses Zehneck?
Aufgabe 3. Die folgenden zwei Aufgaben entstammen dem Känguru-Wettbewerb (4. bzw. 7.
Klasse): Lösen Sie die Aufgaben.
Aufgabe 4. Gegeben ist ein Teppich (vgl. Bild) mit den SegmentenA, . . . , F, den es einzufärben gilt. Jedes Segment ist vollständig mit einer Farbe zu füllen,
wobei eine Farbe auch mehrfach verwendet werden kann.
Unmittelbar (über eine gemeinsame Kante) benachbarte Seg- mente dürfen nicht die gleiche Farbe haben.
(a) Wie viele Färbungen gibt es mit zwei Farben?
(b) Wie viele Färbungen gibt es mit drei Farben?
(c) Wie viele Färbungen gibt es mit vier Farben, falls die Segmente Aund F sowieB und E gleichfarbig sein sollen?
(d) Wie viele Färbungen gibt es mit fünf Farben, falls die Segmente A, C und F gleichfarbig sein sollen?
Aufgabe 5. Beweisen Sie: Für allen, k∈Nmitn≥kgilt nk
= nn−k
.Woran erkennt man dies im Pascalschen Dreieck?
