Wend Werner Thomas Timmermann
Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker 2, SS 15 Blatt 9
Abgabe bis Mi, 23.06., 12 Uhr
Aufgabe zur Bearbeitung in der ¨Ubung, abzugeben Aufgabe 1. (Drehungen)
Sei Aeine reelle n×n-Matrix mit einem komplexen Eigenvektoru=v+iw zu einem komplexen Eigenwertλ=x+iy.
(a) Finden Sie eine Matrix a b
c d
mitAv=av+cw und Aw=bv+dw.
(b) Folgern Sie, dassA auf der vonv undw aufgespannten Ebene im Fall|λ|= 1 wie eine Drehung (und sonst wie eine Drehstreckung) wirkt.
(c) Zeigen Sie, dass folgende Matrix ortohogonal ist und 1 als Eigenwert besitzt:
A= 1 3
2 2 1
−2 1 2 1 −2 2
.
(Durch Bestimmung der Wurzeln des charakteristischen Polynoms und (b) kann man zeigen, dassAeine Drehung ist, und die Drehachse ist der Eigenraum zur 1.)
Aufgaben zur selbst¨andigen Bearbeitung
Aufgabe 2. (Normale Matrizen)
Eine MatrixA∈Mn(C) heißt normal, fallsA∗A=AA∗. Zeigen Sie:
(a) Besitzt eine Matrix A ∈Mn(C) eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren, so ist sie normal.
Es gilt auch die Umkehrung von (a). Sei A∈Mn(C) normal. Zeigen Sie:
(b) F¨ur alle v∈Cn giltkAvk=kA∗vk.
(c) Sindv∈Cn undλ∈CsowieAv =λv, so folgt A∗v=λv.
(Hinweis: Verwenden Sie (b) f¨urA−λEn statt f¨urA.)
(d) Sindv, w Eigenvektoren vonA zu verschiedenen Eigenwerten, so gilt hv, wi= 0.
Aus (d) folgt dann ¨ahnlich wie f¨ur symmetrische Matrizen, dass A eine Orthonormal- basis aus Eigenvektoren besitzt.
Aufgabe 3. (Spektralprojektionen symmetrischer Matrizen)
Sei A ∈ Mn(C) symmetrisch und seien λ1, . . . , λk die paarweise verschiedenen Eigen- werte vonA. Zeigen Sie:
(a) Bezeichnet Pi ∈ Mn(C) die orthogonale Projektion auf ker(A −λiEn), so gilt A=Pk
i=1λiPi. (Hinweis: Uberpr¨¨ ufen Sie die Gleichheit beider Seiten, indem Sie sie auf eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von A anwenden.)
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(b) Es gilt Pi = Y
j6=i
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λi−λj(A−λjEn). Insbesondere kommutiert eine Matrix B ∈ Mn(C) mitA genau dann, wenn sie mit allen Pi kommutiert.
Aufgabe 4. (Beispiel einer Spektralzerlegung)
(a) Seiu∈Cnein Einheitsvektor. Zeigen Sie, dass die Matrix der AbbildungPu:v7→
hv, uiu gegeben ist durchuu∗, wenn wiru als n×1-Matrix auffassen.
(b) Bestimmen Sie dieλi und die Matrizen Pi aus Aufgabe 3 f¨ur die Matrix
A=
2 0 −5
0 2 5
−5 5 7
und ¨uberpr¨ufen Sie die GleichungA=P
iλiPi.
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