π () () () π 13 A = 2 π ! 360 ° W = n − 2 π ! n − 2 ⋅ 180 ° W = 12 = 6arccos ⋅ = 6 π ! 6 ≈ ⋅ 180 6 ⋅ 70.529° °= 1080 ≈ ° 423.172 Tetraeder Würfel 2 W

(1)

Hans Walser, [20200508]

F lä che nwinke lsumme Anregung: L. H., B.

1 Worum geht es?

Studie über Flächenwinkelsummen bei speziellen Polyedern.

Frage nach „schönen“ Flächenwinkelsummen.

Es zeigt sich, dass von Parallelogrammen begrenzte Polyeder eine Flächenwinkelsum- me haben, die ein ganzzahliges Vielfaches von 360° ist.

2 Erinnerung

Bei einfach geschlossenen n-Ecken in der Ebene ist die Innenwinkelsumme W:

W =

( )

n−2 ^π^!

( )

ⁿ⁻² ^⋅¹⁸⁰^° ⁽¹⁾

Die Innenwinkelsumme hängt also von der Eckenzahl n, ist aber bei gegebener Ecken- zahl eine Invariante. Alle Dreiecke haben die Innenwinkelsumme 180°, alle Vierecke die Innenwinkelsumme 360° und so weiter.

Die Innenwinkelsumme ist immer ein positives ganzzahliges Vielfaches von π bzw.

von 180°. Wir haben also „schöne“ Innenwinkelsummen.

Eine globale Invariante in diesem Kontext ist die Außenwinkelsumme A=2π!360°. 3 Beispiele

Wir arbeiten mit der Summe W der inneren Flächenwinkel. Unter den Flächenwinkeln verstehen wir die Winkel zwischen zwei an einer Kante aneinanderstoßenden Seitenflä- chen.

3.1 Tetraeder

W_Tetraeder =6arccos ¹

( )

3 ^≈⁶^⋅70.529°^≈^423.172 ⁽²⁾

Keine „schöne“ Flächenwinkelsumme.

3.2 Würfel

W_Würfel =12⋅^π₂ =6π!6⋅180° =1080° (3)

Hier eine „schöne“ Flächenwinkelsumme.

Bemerkung: Quader, Rhombenhexaeder und Spat haben ebenfalls W = 1080°.

(2)

3.3 Oktaeder

W_Oktaeder=12arccos

( )

−¹₃ ^≈¹²^⋅109.471°^≈^1313.655° ⁽⁴⁾ Keine „schöne“ Flächenwinkelsumme.

Bemerkung:

2W_Tetraeder+W_Oktaeder =12 arccos

( ( )

¹₃ ⁺^arccos

( )

⁻¹³

)

⁼¹²^π^!²¹⁶⁰^° ⁽⁵⁾

Die Kombination von zwei „unschönen“ Flächenwinkelsummen ergibt in diesem Fall eine „schöne“.

Wir werden später sehen, warum das so ist.

3.4 Rhombendodekaeder

Abb. 1: Rhombendodekaeder

Die Abbildung 1a zeigt ein Rhombendodekaeder in einer allgemeinen Ansicht. Die Ab- bildung 1b zeigt dasselbe Rhombendodekaeder in einer speziellen Sicht. Der Umriss ist scheinbar ein regelmäßiges Sechseck, in Wirklichkeit aber eine Folge von sechs zum Beobachter senkrecht stehenden Rhomben. Wir erkennen daraus, dass der innere Flä- chenwinkel zwischen zwei an einer Kante aneinanderstoßenden Rhomben 120° beträgt.

Da das Rhombendodekaeder 24 Kanten hat, ergibt sich für die Flächenwinkelsumme:

a) b)

(3)

WRhombendoekaeder =24⋅120° =2880°!16π (6)

3.5 Rhombentriakontaeder

Abb. 2: Rhombentriakontaeder

In der speziellen Sicht (Abb. 2b) sehen wir ein regelmäßiges Zehneck. Der Flächenwin- kel ist daher 144°. Das Rhombentriakontaeder hat 60 Kanten, daher:

WRhombentriakontaeder =60⋅144° =8640°!48π (7)

Offenbar haben wir bei Rhomboedern „schöne“ Flächenwinkelsummen.

a) b)

(4)

4 Polyeder mit Parallelogrammen als Seitenflächen

Abb. 3: Parallelogramme als Seitenflächen

Allgemein gibt es bei konvexen Polyedern mit Parallelogrammen als Seitenflächen (Abb. 3) eine Flächenwinkelsumme, welche ein ganzzahliges Vielfaches von 180° ist.

Im Beispiel der Abbildung 3 gibt es viele parallele Kanten. Insgesamt gibt es aber nur vier Richtungen für die Kanten.

Zu jeder dieser vier Kantenrichtungen gibt es eine geschlossene Folge von Parallelo- grammen (Abb. 4). Eine solche geschlossene Folge von Parallelogrammen wird als Zo- ne bezeichnet. Die Anzahl der Zonen bezeichnen wir mit z.

Abb. 4: Vier Zonen

a) b)

c) d)

(5)

Beispiele für Zonenzahlen:

• Ein Würfel oder allgemein ein Quader oder ein Spat hat drei Zonen.

• Das Rhombendodekaeder hat vier Zonen.

• Das Rhombentriakontaeder hat sechs Zonen.

Jede Zone wird von den z−1 anderen Zonen zweimal geschnitten, und zwar in diamet- ralen Parallelogrammen. Somit besteht jede Zone aus 2

( )

z−1 Parallelogrammen.

Nun schauen wir das Polyeder zum Beispiel in Richtung der roten Kanten der Abbil- dung 4a an. Wir vermeinen dann ein ebenes unregelmäßiges (aber punktsymmetrisches) Sechseck zu sehen oder allgemein ein ebenes 2

( )

z−1 ^-Eck. Dessen Innenwinkelsumme ist

(

2

( )

z−1 ⁻²

)

^π⁼²

^{( )}

^z⁻² ^π. Das ist aber auch die echte Flächenwinkelsumme an den

2

( )

z−1 roten Kanten.

Analoges gilt für die anderen Kanten.

Die gesamte Flächenwinkelsumme ist also:

W =z

(

2

( )

z−2 ^π

)

⁼

(

^2z²⁻^4z

)

^π ⁽⁸⁾

Wie immer ist die Außenwinkelsumme einfacher zu berechnen. Pro Zone erhalten wir eine Flächenaußenwinkelsumme ₂π. Somit gilt für die gesamte Flächenaußenwinkel- summe A:

A=2πz!z⋅360° (9)

5 Umkehrung

Ein gerades Dreikantprisma hat die Flächenwinkelsumme:

Wgerades Dreikantprisma =4π!720° (10)

Es ist aber nicht ausschließlich von Parallelogrammen begrenzt.

6 Beispiele 6.1 z = 1

Kann ich mir nicht vorstellen.

6.2 z = 2

Doppelt belegtes Parallelogramm. W = 0.

(6)

6.3 z = 3

Würfel, Quader, Rhombenhexaeder, Spat (Parallelepiped). W =6π!1080°

Wenn wir einem Oktaeder auf zwei gegenüberliegenden Dreiecksflächen je ein Tetra- eder aufsetzen, ergibt sich ein Rhombenhexaeder. An den gemeinsamen Kanten haben wir eine Flächenwinkelsumme von je 180°. Für die übrigen Kanten gilt (8). Damit ist (5) gezeigt.

6.4 z = 4 W =16π!2880°

Rhombendodekaeder (Abb. 1).

Rhombendodekaeder zweiter Art (Abb. 5). Das Rhombendodekaeder zweiter Art wurde von Bilinski (1960) beschrieben.

Abb. 5: Rhombendodekaeder zweiter Art

Körper der Abbildungen 3 und 4.

(7)

6.5 z = 5 W =30π!5400°

Rhombenikosaeder (Abb. 6).

Abb. 6: Rhombenikosaeder

6.6 z = 6 W =48π!8640°

Rhombentriakontaeder (Abb. 2).

(8)

6.7 z = 7

W =70π!12600° (Abb. 7). Der Körper ist von 42 Rhomben begrenzt.

Abb. 7

a) b)

(9)

7 Nicht konvexe Polyeder mit Parallelogrammen

Abb. 8: Sternkörper

Die Abbildung 8 zeigt einen aus Rhomben bestehenden nicht konvexen Sternkörper.

Er hat zwölf Zonen zu je zehn Rhomben. Es hat disjunkte Zonen, die sich nicht schnei- den. Daher gilt die Formel (8) nicht.

Die Flächenwinkelsumme ist:

W_Stern=98π!17640° (11)

(10)

Lite ra tur

Bilinski, Stanko (1960): Über Rhombenisoeder. Glasnik mat.-fiz. i astr. 15, 1960, No. 4, S. 251-262.

Walser, Hans (2011): Winkeldefizite bei konvexen Polyedern. Mathematikinformation, Nr. 54, 15. Januar 2011, S. 44-51. ISSN 1612-9156.

W e bsite s

Hans Walser: Flächenwinkel

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Flaechenwinkel/Flaechenwinkel.htm Hans Walser: Flächenwinkel bei regelmäßigen Polyedern

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Flaechenwinkel_regelm/Flaechenwinkel_regelm.htm Hans Walser: Rhombenkörper (Vortrag)

http://www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20180508/index.html