1−x2 1 +x2 , sint = 2 cos(t/2) sin(t/2

Rationale Funktionen von Sinus und Kosinus

Mit der Substitution

x = tan(t/2), −π <t < π erh¨alt man f¨ur eine beliebige rationale Funktionr

Z

r(cost,sint)dt = Z

r

1−x² 1 +x² , 2x

1 +x² 2

1 +x²dx. Damit l¨asst sich ein trigonometrischer in einen rationalen Integranden

¨uberf¨uhren, der mit Partialbruchzerlegung berechnet werden kann.

Beweis

Satz des Pythagoras cos(t/2) = 1/√

1 +x² sin(t/2) =x/√

1 +x²

(d/du) tanu = 1/cos²u =⇒ dx = 1

2 1

cos²(t/2)dt = 1

2(1 +x²)dt und Anwendung der Additionstheoreme f¨ur Sinus und Kosinus

cost = cos²(t/2)−sin²(t/2) = 1−x² 1 +x² , sint = 2 cos(t/2) sin(t/2) = 2x

1 +x²

Beispiel

Umwandlung von Z dt

sint, Z dt

cost in rationale Integrale

Substitution x= tan(t/2), dt = 2dx/(1 +x²), sint= 2x/(1 +x²) Z 1 +x²

2x 2

1 +x²dx = Z dx

x = ln|x|+c = ln|tan(t/2)|+c analog: cost = (1−x²)/(1 +x²), Partialbruchzerlegung

Z dt cost =

Z 1 +x² 1−x²

2

1 +x² dx= Z

1

1−x + 1 1 +x

dx = ln

1 +x 1−x

+c R¨ucksubstitution

Z dt cost = ln

1 + tan (t/2) 1−tan (t/2)

+c

Beispiel

Stammfunktion von f(t) = 1 1 + sint−cost (i) Trigonometrische Substitution:

x = tan(t/2), dt= 2dx/(1 +x²), sint= 2x/(1 +x²), cost= (1−x²)/(1 +x²)

Z

f(t)dt =

Z 1

1 + 2x/(1 +x²)−(1−x²)/(1 +x²) 2 1 +x² dx

=

Z 1 x²+x dx (ii) Partialbruchzerlegung:

Ansatz

r(x) = 1

x(x+ 1) = a x + b

x+ 1

∗x und x= 0 =⇒ a= 1

(iii) Bilden der Stammfunktionen:

r(x) = 1/x−1/(x+ 1)

R(x) = ln|x| −ln|x+ 1|= ln

x x+ 1

R¨ucktransformation (x = tan(t/2), 1/x= cot(t/2)) F(t) = ln

tan(t/2) tan(t/2) + 1

= ln

1 1 + cot(t/2)