1 Übungsblatt Mathematik für Physiker III
1.1 Iterierte Grenzwerte
Der Grenzwert
lim (x,y)→(0,0) f (x, y)
existiert nicht, dies lässt sich leicht folgern, da dieGrenzwerteaufverschiedenen Wegengleichsein müssenundwirfür verschiedene Annä-
herungenverschiedene Grenzwerteerhalten. Hierzu betrachtenwir
(x,y) lim → (t,t) f (x, y) = t 4
t 4 + t 2 − 2t 2 + t 2 = 1,
da
1 6= 0,
existiert fürlim (x,y) → (0,0) f (x, y)
keinGrenzwert.Betrachten wir nun die iterierten Grenzwerte, hierzu wenden den Limes auf
f (x, y)
an,während wireinenderParameterkonstant halten:
y lim →0 f (x, y) = lim
y →0
x 2 y 2
x 2 y 2 + x 2 − 2xy + y 2 = 0
0 + x 2 = 0 = 0
0 + y 2 = lim
x →0 f (x, y) ,
da jedoch
lim x,y →0 (0) = 0
immer gilt,ist daszuZeigende bewiesen.1.2 Sphäre
a)
Zeige, dass
p → p ∗ stetigist
Beweis:
p → p ∗ stetig⇔ ∀ p ∈ S ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 :
d(p, a) < δ ⇒ d (p∗, a∗) < ε
Es gilt:
d (p, a) = q
(p 1 − a 1 ) 2 + (p 2 − a 2 ) 2 + (p 3 − a 3 ) 2
= q
(−p 1 + a 1 ) 2 + (−p 2 + a 2 ) 2 + (−p 3 + a 3 ) 2
= d (p ∗ , a ∗ )
Das heiÿt,setze
δ = ε.
b)
Gegeben ist S zusammenhängend und
f : p → R
stetig fürp ∈ S
. Zeige, dass es zweiAntipodenmit den gleichen Funktionswerten gibt:
f (p) = f (p ∗ )
Wie gezeigt istdieAbbildung
p → p ∗ stetig. Dannistdie Abbildung
g (p) = f (p) − f (p ∗ )
ebenfallsstetig. Fixiereein
p 0 ∈ S
.Wenng (p 0 ) = 0
,ist dieForderung bereits erfüllt.Wenn
g (p) 6= 0
,dann istaberauf GrundderDenitiong (p) = −g (p ∗ ) .
Da
S
eine zusammenhängende Menge ist, gibt es eine Kurveγ
, zwischenp
undp ∗
diealle Wertezwischen
g (p)
und−g (p)
,also auch 0annimmt. Somit ist die Forderungerfüllt.
