Theoretishe Physik A WS 2000/01
Prof. Dr. J.Kuhn / Dr. W.Kilian Blatt 4 10.11.2000
Losungsvorshlage
1. Arhimedishe Spirale (2Punkte)
DieGeshwindigkeitist
v(t)=
sin!t+!t os!t
os!t !t sin!t
und dieBogenlange
L(t)= Z
dt p
v(t) 2
= Z
dt p
1+! 2
t 2
Dies ist das Integral von Blatt 2, Aufgabe 4 mit a =! 2
, b = 0 und = 1. Damit ist
a b 2
=! 2
und
L(t)=
2!
Arsinh!t+ t
2 p
1+! 2
t 2
:
2. Abrollkurve(7Punkte)
(a) Die Bahnkurve ist eine der gleihformigenBewegung uberlagerte Rotation,also
r(t) =v
M t+
0
R
+
asin!t
aos!t
:
Hier ist das Vorzeihen durh die Drehrihtung bestimmt (im Uhrzeigersinn bei
Bewegung nah rehts). ! ergibt sihaus der Bedingung,da das Radrollen soll:
Bei einem vollen Umlauf (Umlaufzeit T = 2=!) wird die Wegstreke vT =2R
zurukgelegt. Darausfolgt! =v=R . Zusammengefat:
r(t)=
asin v
R t+vt
aos v
R t+R
:
(b) Die Geshwindigkeitist fur a=R
v(t)=
v(1 os v
R t)
vsin v
t
n
Steigung der Bahnkurve ist
dy
dx
= _ y
_ x
= sin
v
R t
1 os v
R t
und istandiesen Punkten zunahst unbestimmt. Nah L'H^opital giltdann
lim
t!t
n sin
v
R t
1 os v
R t
= lim
t!t
n v
R os
v
R t
v
R sin
v
R t
=1:
() Skizzen fura<R , a=R und a>R :
3. Shiefer Wurf (11 Punkte)
(a) Aus a(t)(0; g) erhalten wir durh Integration nah der Zeit
v(t)=(0; gt)+v
0 :
Zum Zeitpunkt t=0gilt jvj=v und v
y
=v
x
=tan, also
v
0
=(vos;vsin):
Eine weitere Integration nah der Zeit ergibt
r(t)=(0; gt 2
=2)+v
0 t+r
0
;
und aus r(0)=(0;0)shliet man
r(t)=(vtos;vtsin 1
2 gt
2
): (1)
(b) Die Kugel tritam Boden auf,wenn y(t)=0 ist und t6=0,also
0=y(T)=vT sin 1
2 gT
2
) T =
2vsin
g :
DurhEinsetzen in(1) erhalten wir
X =x(T)=vT os = 2v
2
sinos
= v
2
sin2:
vsin=g=T=2. Alsoist
Y =y(T=2) = v
2
sin 2
2g
(2)
(d) sin2 ist maximalbei2 ==2=90 Æ
,also istX maximal bei ==4=45 Æ
.
(e)
L(t)= Z
dt p
v(t) 2
= Z
dt p
g 2
t 2
2gvsint+v 2
Dies istdas Integral von Blatt2,Aufgabe4mita =g 2
, b= gvsin und =v 2
.
Es gilt
a b 2
=g 2
v 2
os 2
und damit
L(t)= v
2
os 2
2g
Arsinh
gt vsin
vos +
gt vsin
2g
p
g 2
t 2
2gvsint+v 2
Einsetzen ergibt
L(T)= L(0) = v
2
os 2
2g
Arsinhtan+ v
2
2g sin
und damit
L=L(T) L(0)= v
2
g os
2
Arsinhtan+sin
(f) Furkleine Winkelgilt
L v
2
g
(+)X;
dagegen fur ==2:
L= v
2
g
(0+1)=2Y:
Furden Term mitdem Arsinh giltnamlihin der Nahe von ==2:
os 2
Arsinhtan=os 2
ln(tan+ p
1+tan 2
) =os 2
ln
sin+1
os
! os 2
lnos
Setze ==2 und verwende L'H^opitalfur!0:
:::= sin 2
lnsin
!
2
ln=
ln
2
!
1=
3
=2 2
!0:
