Orthogonale Vektoren und Funktionen Ubungen¨
Aufgabe 1
Bestimme f¨ur die Orthgonalbasis
~v1 =
13
−4 6
−2
~v2 =
34 98
−12
−11
~ v3 =
−38 14 69
−68
~v4 =
−4 7 22 26
inR4 die die L¨osung der Gleichung
a1~v1+a2~v2+a3~v3 +a4~v4 =w~
mit w~ =
9 6 5 9
.
Aufgabe 2
Das Skalarprodukt von zwei reellen Funktionf undg, die stetig auf dem IntervallI = [0,1]
sind, sei wie folgt definiert:
hf, gi= Z 1
0
f(x)g(x) dx
(a) Pr¨ufe, ob die Funktionenf(x) =x3−8x+ 4 undg(x) = x2+ 2 orthogonal sind.
(b) Bestimme den Betrag|f| der Funktion f(x) =x2 + 6x−3.
(c) Berechne den Winkel ϕzwischen den Funktionen f(x) = x+ 2 und g(x) = 2x−1 bez¨uglich des .
Aufgabe 3
Die Laguerre-Polynome Ln werden wie folgt definiert Ln(x) =
n
X
k=0
n!
k!(n−k)!· (−1)k k! ·xk
und treten unter anderem bei der numerischen Berechnung bestimmter Integrale als auch in der Quantenmechanik auf.
(a) Weise nach, dassL0(x) = 1 und L1(x) = 1−x gilt.
(b) Bestimme L2(x).
(c) Zeige, dass L0(x) und L1(x) bez¨uglich des Skalarprodukts hf, gi=
Z ∞ 0
f(x)g(x)e−xdx
orthogonal sind. (e−x sorgt f¨ur die Konvergenz des uneigentlichen Integrals.) 1
Aufgabe 4
Gegeben:~a1 =
0 1 1
,~a2 =
1 3 3
und~a3 =
3 1 3
(a) Zeige, dass ~a1, ~a2 und ~a3 linear unabh¨angig sind indem du den Rang der Matrix bestimmst, die sich aus den drei Vektoren zusammensetzt.
(b) Bestimme mit dem Verfahren von Gram-Schmidt aus ~a1, ~a2, ~a3 eine orthogonale Basis~b1,~b2,~b3.
(c) Gib die zu~b1,~b2,~b3 geh¨orende orthonormale Basis~c1,~c2,~c3 an.
Aufgabe 5
Gegeben:~a1 =
1
−2 1
,~a2 =
2
−1 2
und~a3 =
1 2 0
(a) Zeige, dass ~a1, ~a2 und ~a3 linear unabh¨angig sind indem du den Rang der Matrix bestimmst, die sich aus den drei Vektoren zusammensetzt.
(b) Bestimme mit dem Verfahren von Gram-Schmidt aus ~a1, ~a2, ~a3 eine orthogonale Basis~b1,~b2,~b3.
(c) Gib die zu~b1,~b2,~b3 geh¨orende orthonormale Basis~c1,~c2,~c3 an.
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