Gleichdick mit Kartoffeln Anregung: J. R., K.-L.
1 Worum geht es?
Mit recht allgemeinen geometrischen Vorgaben kann mit Hilfe von Evolventen ein Gleichdick konstruiert werden.
2 Konstruktion
Wir beginnen mit drei konvexen Gebieten (den „Kartoffeln“ des Titels). Die Ränder bezeichnen wir mit c0,c1,c2.
Drei konvexe Gebiete
Dazu zeichnen wir drei Tangenten t0,t1,t2 und bezeichnen die Berührungspunkte ge- mäß der folgenden Abbildung.
Tangenten
Wir bezeichnen die Tangentenabschnitte mit ai = AiBi−1,i∈
{
0,1, 2}
, Indizes modulo 3.Weiter sei si = A!iBi die Bogenlänge auf der Randkurve ci.
Nun wählen wir auf der Tangente t0 einen Startpunkt P0, der von A0 den Abstand r hat, und wälzen die Tangente auf c0 ab, bis sie in die Position der Tangente t1 zu lie- gen kommt. Die Bahnkurve des Punktes P0 ist eine Evolvente, den Endpunkt des Evol- ventenbogens bezeichnen wir mit P1. Dieser Endpunkt hat von B0 den Abstand
B0P1=A0P0+s0 =r+s0.
In den folgenden Abbildungen sind die Evolventenbögen nur skizziert und nicht genau gezeichnet. Die Abbildungen dienen zur Illustration der Gedankengänge.
Erster Evolventenbogen
Nun wälzen wir die Tangente t1 auf c1 ab, bis sie auf t2 zu liegen kommt. Der Punkt P1 beschreibt einen Evolventenbogen mit dem Endpunkt P2. Für die Abstände erhalten wir zunächst A1P1= B0P1+a1=r+s0 +a1 und weiter:
B1P2 =A1P1−s1=r+s0 +a1−s1 Durch das Abwälzen wird der Tangentenabschnitt verkürzt.
Zweiter Evolventenbogen
Nun wird auf c2 abgewälzt, dann wieder auf c0, dann auf c1 und schließlich auf c2. Die Bogenlängen auf den Rändern der konvexen Gebiete werden abwechslungsweise addiert und subtrahiert. Wir erhalten die Figur der folgenden Abbildung.
Sechs Evolventenbögen
Wir vermuten, dass sich die Figur schließt. Dies kann mit folgender Rundrechnung nachgewiesen werden:
A0P0 =r
B0P1 =A0P0 +s0 =r+s0 A1P1 =B0P1+a1=r+s0 +a1 B1P2 =A1P1−s1=r+s0 +a1−s1 A2P2 =B1P2 −a2 =r+s0 +a1−s1−a2 B2P3 =A2P2 +s2 =r+s0 +a1−s1−a2 +s2 A0P3 =B2P3+a0 =r+s0 +a1−s1−a2 +s2 +a0
B0P4 =A0P3−s0 =r+s0 +a1−s1−a2 +s2 +a0 −s0 =r+a1−s1−a2 +s2 +a0 A1P4 =B0P4 −a1 =r+a1−s1−a2+s2+a0 −a1=r−s1−a2+s2+a0
B1P5 =A1P4 +s1=r−s1−a2+s2+a0 +s1=r−a2+s2+a0 A2P5 =B1P5 +a2 =r−a2+s2+a0 +a2 =r+s2 +a0
B2P6 =A2P5 −s2 =r+s2 +a0−s2 =r+a0 A0P6 =B2P6 −a0 =r+a0 −a0 =r
Somit ist P6 =P0, wir haben eine Schließungsfigur.
Es ist noch zu zeigen, dass es sich um eine Gleichdick handelt. Da die Evolventen die Orthogonaltrajektorien zu den Tangentenscharen sind, haben wir in den Punkten
Pj, j∈
{
0,…, 5}
rechte Winkel. Weiter erhalten wir:P0P3= A0P0 +a0+B2P3=r+a0 +
(
r+s0 +a1−s1−a2 +s2)
=2r+a0+a1−a2 +s0 −s1+s2
P1P4 = B0P1+a1+A1P4 =
(
r+s0)
+a1+(
r−s1−a2 +s2 +a0)
=2r+a0+a1−a2 +s0 −s1+s2
P2P5 = A2P2 +a2+B1P5 =
(
r+s0+a1−s1−a2)
+a2 +(
r−a2 +s2 +a0)
=2r+a0+a1−a2 +s0 −s1+s2
Wir haben also hier überall gleiche Durchmesser. Nun noch exemplarisch ein allgemei- ner Tangentendurchmesser.
Allgemeiner Tangentendurchmesser Wir bezeichnen die Bogenlänge s=A!2E. Damit wird:
FG=EF+EG=A2P2 +s+A2P5 −s=A2P2+A2P5 =P2P5
=2r+a0+a1−a2 +s0 −s1+s2
Was auf der einen Seite dazu kommt, geht auf der anderen weg. Wir haben ein Gleich- dick.
3 Verallgemeinerung
Statt mit drei konvexen Gebieten können wir mit einer beliebigen ungeraden Anzahl
≥3 von konvexen Gebieten starten. Dabei müssen wir die Tangenten „sternförmig“
setzen. Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel für fünf konvexe Gebiete.
Fünf konvexe Gebiete
