Spektralzerlegung Erinnerung: P er(f ) ⊂ N W (f ) gilt immer. D

Spektralzerlegung

Erinnerung:P er(f)⊂N W(f)gilt immer.

DEFINITION. Ein Diffeomorphismusf erfülltAxiom A, wenn gilt:

(1) Die MengeN W(f)ist hyperbolisch, (2) P er(f) =N W(f).

THEOREM. Spektralzerlegungssatz:

Wenn f ein Axiom-A-Diffeomorphismus ist, dann gibt es eine eindeutig bestimmte Zerlegung

N W(f) = Λ1∪ · · · ∪ΛN

vonN W(f)in disjunktef-invariante Mengen, so dass gilt:

(1) jedesΛi ist eine lokal maximale hyperbolische Menge fürΛ, (2) f ist auf jeder MengeΛitopologisch transitiv,

(3) jedesΛi ist disjunkte Vereinigung von geschlossenen Mengen Λ¹_i ∪ · · · ∪Λⁿ⁽ⁱ⁾_i = Λi,

so dass f die Mengen Λ¹_i, . . . ,Λⁿ⁽ⁱ⁾_i zyklisch permutiert und so dassfⁿ⁽ⁱ⁾auf jedemΛ^j_i topologisch mischend ist.

Die MengenΛ1, . . . ,ΛN sind „elementare” Mengen für die Dynamik von f. Sie haben die Eigenschaft, dass sie die Abschlüsse der Äqui- valenzklassen folgender Äquivalenzrelation sind:x, y ∈M sind äqui- valent, wenn W^s(O(x)) und W^u(O(y)) sich transversal schneiden und außerdemW^s(O(y))undW^u(O(x))sich transversal schneiden.

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