F¨ur jede Potenzreihe gibt es eine reelle Zahl R ≥ 0 , genannt derKonvergenzradius von P∞ n=0an(z−zo)n, so dass • F¨ur jedes w∈K mit |w−zo|>R ist P∞ n=0an(w−zo)n divergent

Prof. Dr. Gregor Fels,

Fachbereich Mathematik, TU-Darmstadt Zusammenfassung der Vorlesung vom 29.05

Konvergenzradius. F¨ur jede Potenzreihe gibt es eine reelle Zahl R ≥ 0 , genannt derKonvergenzradius von P_∞

n=0an(z−zo)ⁿ, so dass

• F¨ur jedes w∈K mit |w−z_o|>R ist P_∞

n=0a_n(w−z_o)ⁿ divergent.

• F¨ur jedes w∈K mit |w−z_o|<R konvergiert P_∞

n=0a_n(w−z_o)ⁿ absolut.

• Gegeben ein r, schreibe a_n(z−z_o)ⁿ|_Br f¨ur die Funktionen B_r(z_o)→K, z7→a_n(z−z_o)ⁿ. F¨ur jedes r<R konvergiert die Folge der Partialsummen

XN n=0

a_n(z−z_o)ⁿ|_Br gleichm¨aßig (gegen eine stetige Funktion ϕ:B_r(z_o)→K) Wir schreiben dann ϕ(z) :=P_∞

n=0an(z−zo)ⁿ f¨ur die durch die Reihe definierte stetige Funktion auf BR(zo) . Es l¨aßt sich keine allgemeine Aussage ¨uber die Konvergenz in den Punkten z mit |z−z_o|=R machen. Es gilt aber der Abelsche Grenzwertsatz:

Konvergiert f(z) :=P

a_n(z−z0)ⁿ in z mit |z−z_o|=R, so gilt lim

t%1f(t(z−z_o)+z_o)= f(z) , (t∈R_>0).

Berechnung des Konvergenzradius. Sei P_∞

n=0an(z−zo)ⁿ eine Potenzreihe und R deren Konvergenzradius.

Dann gilt

R= 1

lim suppⁿ

|an| = 1

nlim→∞(sup{p^k

|ak|:k≥n}) (R=0 falls lim suppⁿ

|a_n|=∞ und R=∞ falls lim sup pⁿ

|a_n|=0 )

Die folgenden Formeln sind oft n¨utzlich bei der Berechnung des Konvergenzradius:

• Gilt a_n6=0 f¨ur alle n≥N f¨ur ein N∈N und existiert lim |a_n|

|a_n+1| so gilt R= lim

n→∞

|a_n|

|a_n+1|.

• R=sup{r≥0 : die Folge (|a_k|r^k)_k∈N ist beschr¨ankt} Identit¨atssatz.

Seien f(z) :=P_∞

n=0a_n(z−z_o)ⁿ, g(z) :=P_∞

n=0b_n(z−z_o)ⁿ zwei Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien R_a und R_b. Sei weiter (p_n) eine Folge aus B_r(z_o)r{z_o}, r≤min{R_a,R_b}, so dass limp_n =z_o. Angenommen

f(p_k)=g(p_k) f¨ur alle k∈N. Dann folgt a_j=b_j f¨ur alle j und f(z)=g(z) f¨ur alle z∈B_Ra(z_o) . Ableitung und Integration von Potenzreihen. Sei P

anzⁿ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R>0 und f :BR(0)→K die durch die Reihe definierte stetige Funktion. Dann

• f⁰(z)=P

(anzⁿ)⁰ =P

(m+1)am+1z^m, und der Konvergenzradius der Reihe P

(m+1)amz^m ist gleich R. Insbesondere ist f unendlich oft differenzierbar.

• Z _y

0

f(z)dz= X∞

n=0

Z _y

0

(anzⁿ)dz= X∞ m=0

amz^m+1

m+1 y∈BR(zo)

Taylor-Reihen.Sei I=(a,b)⊂R und f :I→R eine ∞–oft differenzierbare Funktion und c∈I. Dann heißt X∞

k=0

f^(k)(c)

k! (x−c)^k=:T_f(x) dieTaylorreihevon f mit Entwicklungspunkt c. Das Polynom P_n

k=0 f^(k)(c)

k! (x−c)^k heißt das Taylor-Polynom (von f ) vom Grad n.

I.a., konvergiert die T-Reihe nicht (d.h. R =0 ). Auch wenn die Taylorreihe von f konvergiert, so m¨ussen die Funktionen T_f(x) und f(x) nicht in einer Umgebung von c ¨ubereinstimmen.

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