P(F) und f¨ur alle U ⊆ Ω offen gilt P(U

SS 2014 Jetlir Duraj (T2 u T3 von Marcus Kaiser geText) Wahrscheinlichkeitstheorie

Ab jetzt, gelten nur diese L¨osungen als offizielle L¨osungen zum Blatt 14.

L¨osung zu T1, Blatt 14 Hinweis: Lesen Sie am besten die L¨osung von T2 und T3 bevor Sie die L¨osung von T1 lesen.

Wir werden zun¨achst das folgende kurze Lemma zeigen, was wir mit Hilfe der T3 beweisen (die unabh¨angig von T1 gel¨ost wird).

Lemma 0.1 Es seien (Ω, d) ein metrischer Raum, A die Borelsche σ-Algebra dazu und (P_n)n∈N eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen darauf, die schwach gegen ein Wahr- scheinlichkeitsmaß P konvergiert.

Dann gilt f¨ur jede borel’sche Menge O ⊆Ω mitP(∂O) = 0:

n→∞lim P_n(O) = P(O).

Beweis. Aus T3 weiss man, dass f¨ur alle F ⊆ Ω abgeschlossen gilt lim sup_n→∞P_n(F) ≤ P(F) und f¨ur alle U ⊆ Ω offen gilt P(U) ≤ lim infn→∞Pn(U). Nun es ist klar, dass f¨ur jede borel’sche Menge O ⊆ Ω mit P(∂O) = 0 gilt P(O) = P(O) = P(O⁰) wobei O den topologischen Abschluss von O und O⁰ das Innere von O bezeichnet. Daraus folgt die

Behauptung unmittlebar, denn O⁰ ⊂O⊂O.

Nun zur¨uck zur Aufgabe. Sei, f¨ur die erste Richtung, die Folge (µ_j,Σ_j) konvergent f¨ur j → ∞ zu (µ,Σ). Nehme Z n-dimensional Standardnormalverteilt auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum. Dann ist X_j := µ_j + Σ

1 2

jZ ∼ N(µ_j,Σ_j) und X := µ+ Σ¹²Z ∼ N(µ,Σ)¹.

Es gilt wegen der Voraussetzung, dass X_j → X, P-f.s.. Sei nun ein f beschr¨ankt und stetig. Dann folgt daraus direkt mit dominierter Konvergenz, dass

E[f(X_j)]→E[f(X)], j → ∞

also auch die schwache Konvergenz von N(µ_j,Σ_j) zu N(µ,Σ). Man bemerke, dass dieser Beweis auch dann gilt, wenn Σ nur positiv semidefinit ist. Dann h¨atten wir als Limes eine ausgeartete Normalverteilung.

Sei nun f¨ur die andere Richtung der Implikation N(µ_j,Σ_j) zu N(µ,Σ) schwach konver- gent. Seienf_j undf die Lebesgue Dichten vonN(µ_j,Σ_j) bzw.N(µ,Σ). So folgt mit dem Lemma, f¨ur jede borel’sche Menge O ⊂ Rⁿ, sodass Lebesguemass(∂O) = 0 (Normalver- teilungen sind absolut stetig bzgl. Lebesguemass), dass

N(µ_j,Σ_j)(O)→ N(µ,Σ)(O), j → ∞. (1) Wir benutzen diese Aussage nun um das Gew¨unschte zu zeigen.

Behauptung 1.: Es kann keine Teilfolge von (µj,Σj) geben mit |µj_k| → ∞ und Σj_k → Σ⁰, k → ∞, sodass det(Σ⁰) = 0.

1Mit Σ¹² bezeichnen wir die Quadratwurzel einer positiv semidefiniten MatrixA, also die eindeutige MatrixB mitA=B².

Denn sei widerspruchshalber |µ_jk| → ∞ und Σ_jk → Σ⁰, k → ∞ mit det(Σ⁰) = 0. Nehme einObeschr¨ankt mitLebesguemass(∂O) = 0,O∩Σ⁰Rⁿ=∅² undLebesguemass(O)>0.

So folgt mit der Dreiecksungleichung, falls M := sup_x∈O||x||<∞, N(µ_jk,Σ_jk)(O)≤P(|µ_jk| ≤M +|Σ

1 2

jkZ|)→0, k → ∞.

Das gilt, weil Σ

1 2

j_kZ →Σ⁰¹²Z P-f.s. und diese Zufallsvariable hat endlichen Erwartungswert.

N(µ_jk,Σ_jk)(O)→0, k → ∞ ist aber im Widerspruch zu (1), dennN(µ,Σ)(O)>0.

Behauptung 2.: sup_j{max(det(Σ_j),|µ_j|)}<∞.

Denn ansonsten w¨urde folgen: f_kj →0, j → ∞ f¨ur eine geeignete Teilfolge nat¨urlicher Zahlen (man erinnere sich daran dass (2π)ⁿ²det(Σ_j)f_j ≤1, wegen positiver Definitheit von Σ_j und dass es im Falle sup_jdet(Σ_j) < ∞, f_kj trotzdem zu Null geht f¨ur j → ∞, falls

|µ_kj| → ∞, wie man aus Behauptung 1. sieht).

Und das w¨urde zu einem Widerspruch zu (1) f¨uhren, sobald dort O beschr¨ankt mit Lebesguemass(O)>0 gew¨ahlt wird.

Mit dem Beweis der folgenden Behauptung sind wir dann fertig.

Behauptung 3.: Jede Teilfolge von (µ_j,Σ_j) konvergiert zu (µ,Σ).

Denn ansonsten k¨onnen wir wegen der Behauptung 2. annehmen (Beschr¨anktheit der Folge,detist stetig), notfalls durch ¨Ubergang zu einer geeigneten Teilfolge, dass eine Teil- folge (µ_jk,Σ_jk) → (µ⁰,Σ⁰), k → ∞. Und es w¨urde mit der schon bewiesenen Richtung folgen, dass N(µ_jk,Σ_jk) zu N(µ⁰,Σ⁰) schwach konvergiert. Aus T2 folgt dann aber, dass N(µ⁰,Σ⁰) =N(µ,Σ), also insbesondere (µ⁰,Σ⁰) = (µ,Σ).

L¨osung zu T2, Blatt 14

Wir haben, dass P_n schwach gegen P f¨ur n → ∞ konvergiert (P_n −→^w P, n → ∞). Also gilt f¨ur allef stetig und beschr¨ankt gilt, dass

E_Pn[f]^n→∞→ E_P[f].

Da ebenfalls gilt, dass Pn

−→w P, n→ ∞, haben wir ebenfalls, dass

E_Pn[f]^n→∞→ E_Q[f].

Insbesondere gilt also, dass

EP[f] = lim

n→∞EPn[f] =EQ[f].

Nun wollen wir zeigen, dass f¨ur alle abgeschlossenenF ⊆Ω, dassP(F) =Q(F) gilt. Da die abgeschlossenen Mengen ein durchschnittstabiler Erzeuger von B(Ω), der Borel’schen σ-Algebra auf Ω sind, folgt daraus dann die Behauptung.

Wir definieren zuerst f¨ur F ⊆Ω abgeschlossen die Abbildung d⁰(·, F) : Ω→R⁺, x7→inf_y∈Fd(x, y).

Bemerkungen:

• Es gilt, dass d⁰(·, F) stetig (und sogar gleichm¨assig stetig ist).

2D.h. eine Menge die disjunkt zum Bild der lin. Abbildung gegeben durch Σ⁰ ist. Dies gibt es denn det(Σ⁰) = 0.

• Es gilt (da F abgeschlossen ist), dassd⁰(x, F) = 0 genau dann, wenn x∈F. Weiter definieren wir die Folge stetiger, beschr¨ankter Funktionen

f_n(x) :=

1 1 +d⁰(x, F)

n

, n∈N.

Beachte: Es gilt, dass 1_F ≤f_n+1(x)≤f_n(x)≤1, und insbesondere fn(x)&1F(x), x∈Ω.

Da die f_n, n ∈ N alle stetig und beschr¨ankt sind, k¨onnen wir (wegen der schachen Konvergenz) folgern, dass

EP[fm] = lim

n→∞EPn[fm] =EQ[fm].

Nehmen wir nun zus¨atzlich den Limes in m → ∞ erhalten wir (wegen dem Satz der monotonen Konvergenz)

E_P[1_F] = lim

m→∞E_P[f_m] = lim

m→∞E_Q[f_m] =E_Q[1_F].

Insgesamt erhalten wir also, dass P(F) = E_P[1_F] = lim

m→∞E_P[f_m] = lim

m→∞E_Q[f_m] =E_Q[1_F] =Q(F), und somit folgt die Behauptung.

L¨osung zu T3, Blatt 14

• Wir wollen zeigen, dass f¨ur alle U ⊆ Ω offen gilt, dass P(U) ≤ lim infn→∞P_n(U).

Dies ist wegen P(U) = 1 −P(U^c) ¨aquivalent dazu, dass f¨ur alle F ⊆ Ω abge- schlossen gilt, dass lim sup_n→∞Pn(F) ≤ P(F). Wir zeigen die zweite, ¨aquivalente Behauptung:

Unter Verwendung der Funktionen f_n aus T2 erhalten wir, dass f¨ur alle F ⊆ Ω abgeschlossen gilt, dass

P_n(F) = E_Pn[1_F]≤E_Pn[f_m] Betrachten wir den Limes Superior f¨urn → ∞ erhalten wir

lim sup

n→∞

P_n(F)≤lim sup

n→∞

E_Pn[f_m] =E_P[f_m],

wobei wir bei der letzten Ungleichung verwendet haben, dass P_n schwach gegen P konvergiert.

Nehmen wir nun den Limes inm→ ∞folgt (erneut mit monotoner Konvergenz bei der vorletzten Gleichung), dass

lim sup

n→∞

P_n(F)≤ lim

m→∞E_P[f_m] =E_P[1_F] =P(F), also wie gew¨unscht

lim sup

n→∞

Pn(F)≤P(F).

• Wir suchen ein Beispiel daf¨ur dass die Ungleichung aus 1.strikt ist. Hierf¨ur betrach- ten wir das folgende Beispiel: Sei P_n := 1− _n¹

δ¹

n + _n¹δ¹

2 und P := δ₀. Dann gilt, dass f¨ur alle stetigen, beschr¨ankten Funktionen f, dass

E_Pn[f] =

1− 1 n

f

1 n

+ 1

nf 1

2

n→∞

→ f(0) =E_P[f].

Betrachten wir nun aber die offene Menge U = (0,∞), so gilt, dass P(U) = 0 ist, aberP_n(U) = 1, n∈N. Also gilt P(U)<lim inf_n→∞P_n(U).

L¨osung zu T4, Blatt 14

Es ist klar, dass (f(t, B_t))t≥0eine integrierbare Familie ist, daf beschr¨ankt ist. Ausserdem, ist Adaptiertheit bzgl. der Filtration (F_t=σ(B_s, s≤t))_t≥0 auch klar.

Sei t > s ≥0. Es gilt

E[f(t, B_t)|F_s] =E[f(t, B_s+B_t−B_s)|F_s] =E[f(t−s+s, y+B_t−s)]|_y=Bs

unter Benutzung der Eigenschaften der Brown’schen Bewegung (wie unabh¨angige Zuw¨achse und Zeithomogenit¨at). Die Martingal-Eigenschaft ist somit ¨Aquivalent zu

E[f(t−s+s, y+Bt−s)]|y=Bs =f(s, Bs).

Also es reicht zu zeigen: f¨ur alle s, t≥0, x∈R

E[f(s+t, x+B_t)] =f(s, x) falls

∂

∂tf(t, x) + 1 2

∂²

∂x²f(t, x) = 0.

Seiens und xfest. Es gilt f¨urt >0 unter Benutzung der Beschr¨anktheit der Ableitungen von f f¨ur die Begr¨undung der Ableitung-Integral Vertauschungen:

∂

∂tE[f(s+t, x+B_t)] = Z

R

∂

∂t(f(s+t, y)p(t, x, y))dy

= Z

R

(∂

∂tf(s+t, y))p(t, x, y) +f(s+t, y)(∂

∂tp(t, x, y))dy

= Z

R

(∂

∂tf(s+t, y))p(t, x, y) + 1

2f(s+t, y)( ∂²

∂y²p(t, x, y))dy

= Z

R

(∂

∂tf(s+t, y))p(t, x, y)−1 2( ∂

∂yf(s+t, y))( ∂

∂yp(t, x, y))dy

= Z

R

(∂

∂tf(s+t, y))p(t, x, y) + 1 2( ∂²

∂y²f(s+t, y))p(t, x, y)dy

= Z

R

(∂

∂tf(s+t, y) + 1 2

∂²

∂y²f(s+t, y))p(t, x, y)dy = 0.

In der dritten Gleichheit haben wir die Eigenschaft von p(t, x, y) benutzt, die im Hin- weis der Angabe enthalten ist; in der vierten und f¨unften Gleichheit haben wir partielle Integration auf dem zweiten Glied des Integranden angewendet, und die Tatsache, dass

f¨ur festen t >0 p(t, x, y) sehr stark abf¨allt falls x odery zu +∞ oder −∞ gehen. In der letzten Gleichheit haben wir die Voraussetzung f¨ur f benutzt.

Es folgt daraus, dass die Funktion [0,∞)→R, t7→E[f(s+t, x+B_t)] konstant in jedem offenen Teilintervall von (0,∞) ist. Da diese Funktion aber sogar stetig in ganz [0,∞) ist

3, ist es ¨uberall konstant. Insbesondere f¨ur jedent ≥0:

E[f(s+t, x+B_t)] =E[f(s+ 0, x+B₀)] = f(s, x).

Damit sind wir fertig.

3Klar mit dominierter Konvergenz aus Beschr¨anktheit und Stetigkeit von f und Stetigkeit der Brown’schen Bewegung.