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Ψ ( x )= δ Ψ ( x )= { x } Ψ ( x )= X ( D ) =Ψ ( x ) ( D u ) = ( D ) u ( D ) = k . X X (2) I u u ( ˜ x ):= N/ 2 ,j =0 ,...,N u − 1 x = X u ( x ) u ˜ k u ˜ = k = − N/ 2 ,...,N/ 2 − 1 X = ( I u ) j =0 , 1 ,...,N − 1 , =( D u ) = u ˜ X ( P u ) = P u P u ( x u

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Academic year: 2022

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(1)

Spektralmethoden Mathematik,FS

2008

Prof. D. Cohenund I. Sim UniversitätBasel

Serie

8

1.

Sei

k · k N,ω

diediskreteNormfürdieChebyshev-Gauss-Lobatto Quadraturformelmit

x j = cos πj

N

und

ω j = π

¯

c j N

für

j = 0, . . . , N

.

ZeigenSie diefolgenden Ungleihungen:

k u k L 2 ω (−1,1) ≤ k u k N,ω ≤ √

2 k u k L 2 ω (−1,1) ∀ u ∈ P N ( − 1, 1).

2.

Sei

P N u(x) =

N/2 − 1

X

k=−N/2

ˆ u k

e

i

k x

ein trigonometrishes Polynom einer glattenFunktion

u

.

1)Zeigen Sie, dass

(P N u) = P N u

.

2)Zeigen Sie, dass

(I N u) j = ( D N u) j =

N/2−1

X

k=−N/2

˜

u (1) k

e

2

i

kjπ/N

für

j = 0, 1, . . . , N − 1,

wobei

u ˜ (1) k =

i

k u ˜ k =

i

k

N

N −1

X

ℓ=0

u(x ℓ )

e

−2

i

kℓπ/N

für

k = − N/2, . . . , N/2 − 1

und

I N u(x) :=

N/2−1

X

k= − N/2

˜ u k

e

i

kx

der

N/2

-Interpolantvon

u

durh

x j = 2πj

N , j = 0, . . . , N − 1

.

3)Mit

(2)

zeigen Sie, dass

( D N u) j =

N −1

X

ℓ=0

(D N ) jℓ u ℓ

mit

(D N ) jℓ = 1

N

N/2−1

X

k= − N/2

i

k

e

2

i

k(j−ℓ)π/N .

4)Zeigen Sie, dass

(D N ) jℓ = Ψ (x j )

mitdem Lagrange-Polynom

Ψ (x) = 1

N

N/2−1

X

k=−N/2

e i

k(x−x )

.

3.

Sei

{ x j } N j=0

die Chebyshev-Gauss-Lobatto Knoten. ZeigenSie, dass

Ψ ℓ (x) = ( 1)

ℓ (x 2 − 1)T N (x)

¯

c ℓ N 2 (x − x ℓ )

einInterpolationspolynomist (d.h.

Ψ ℓ (x j ) = δ ℓj

).

(2)

(Chebyshev-Ableitung imphysikalishen Raum)

a) Sei

{ x j } N j=0

die Chebyshev-Gauss-Lobatto Knoten. Programmieren Sie die Ab- leitungsmatrix

D N

von

( D N u) = (I N u)

mit

( D N u)(x j ) =

N

X

ℓ=0

(D N ) jℓ u(x ℓ )

für

j = 0, . . . , N

.

b) PlottenSie dieChebyshev-Ableitungen (mit

N = 20

z.B.) und die Fehler (

N = 0, . . . , 50

) für diefolgendenFunktionen:

f(x) =

e

x sin(5x), g(x) = x 10 , h(x) = | x 3 | x ∈ [ − 1, 1].

5.

Wirbetrahten das Problem

 

 

∂u

∂t = 2 u

∂x 2

in

( − 1, 1) u( − 1, t) = u(1, t) = 0

u(x, 0) = f (x).

Geben Sie einChebyshev-Galerkin Ansatz, um dienumerishe Lösung

u N (x, t) =

N

X

k=0

a k (t)φ k (x)

zu nden.

Hinweis:

φ k = T k+1 − T k−1 , k ≥ 1

. Aber warum?

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