Spektralmethoden Mathematik,FS
2008
Prof. D. Cohenund I. Sim UniversitätBasel
Serie
8
1.
Sei
k · k N,ω
diediskreteNormfürdieChebyshev-Gauss-Lobatto Quadraturformelmitx j = cos πj
N
undω j = π
¯
c j N
fürj = 0, . . . , N
.ZeigenSie diefolgenden Ungleihungen:
k u k L 2 ω (−1,1) ≤ k u k N,ω ≤ √
2 k u k L 2 ω (−1,1) ∀ u ∈ P N ( − 1, 1).
2.
Sei
P N u(x) =
N/2 − 1
X
k=−N/2
ˆ u k
ei
k x
ein trigonometrishes Polynom einer glattenFunktion
u
.1)Zeigen Sie, dass
(P N u) ′ = P N u ′
.2)Zeigen Sie, dass
(I N u) ′ j = ( D N u) j =
N/2−1
X
k=−N/2
˜
u (1) k
e2
ikjπ/N
fürj = 0, 1, . . . , N − 1,
wobei
u ˜ (1) k =
ik u ˜ k =
ik
N
N −1
X
ℓ=0
u(x ℓ )
e−2
ikℓπ/N
fürk = − N/2, . . . , N/2 − 1
undI N u(x) :=
N/2−1
X
k= − N/2
˜ u k
ei
kx
der
N/2
-Interpolantvonu
durhx j = 2πj
N , j = 0, . . . , N − 1
.3)Mit
(2)
zeigen Sie, dass( D N u) j =
N −1
X
ℓ=0
(D N ) jℓ u ℓ
mit(D N ) jℓ = 1
N
N/2−1
X
k= − N/2
i
k
e2
ik(j−ℓ)π/N .
4)Zeigen Sie, dass
(D N ) jℓ = Ψ ′ ℓ (x j )
mitdem Lagrange-PolynomΨ ℓ (x) = 1
N
N/2−1
X
k=−N/2
e i
k(x−x ℓ )
.
3.
Sei
{ x j } N j=0
die Chebyshev-Gauss-Lobatto Knoten. ZeigenSie, dassΨ ℓ (x) = ( − 1)
ℓ (x 2 − 1)T N ′ (x)
¯
c ℓ N 2 (x − x ℓ )
einInterpolationspolynomist (d.h.
Ψ ℓ (x j ) = δ ℓj
).(Chebyshev-Ableitung imphysikalishen Raum)
a) Sei
{ x j } N j=0
die Chebyshev-Gauss-Lobatto Knoten. Programmieren Sie die Ab- leitungsmatrixD N
von( D N u) = (I N u) ′
mit( D N u)(x j ) =
N
X
ℓ=0
(D N ) jℓ u(x ℓ )
fürj = 0, . . . , N
.b) PlottenSie dieChebyshev-Ableitungen (mit
N = 20
z.B.) und die Fehler (N = 0, . . . , 50
) für diefolgendenFunktionen:f(x) =
ex sin(5x), g(x) = x 10 , h(x) = | x 3 | x ∈ [ − 1, 1].
5.
Wirbetrahten das Problem
∂u
∂t = ∂ 2 u
∂x 2
in( − 1, 1) u( − 1, t) = u(1, t) = 0
u(x, 0) = f (x).
Geben Sie einChebyshev-Galerkin Ansatz, um dienumerishe Lösung
u N (x, t) =
N
X
k=0
a k (t)φ k (x)
zu nden.Hinweis: