i t i i f 2 m m π = = 9 9 2 π () ()() 0 bis m P P P P P P P P P P P f fn f ≥ = P P ∈ mod 2, 2, ! m … f m − ,9 ∈ 1 ! P n n n n n 0 6 6 3 3 fn mod cos fn fn mod mod m m m ,sin e P P = = e n = e n n n n n fn mod m m

Radlinien als Enveloppen Anregung: J. W., B.-M.

1 Sehnen im Kreisraster

Wir wählen eine Modulzahl m∈! und zeichnen auf dem Einheitskreis m Punkte P_n in regelmäßigen Abständen. Diese Punkte nummerieren wir von 0 bis m−1. Die Abbil- dung zeigt die Situation für m=9.

Neun Punkte auf dem Einheitskreis

Mit ϕ_n =n^2π_m haben die Punkte P_n die Koordinaten P_n

(

cos

( )

ϕ_n ^{, sin}

( )

^ϕn

)

. In der Gaußschen Ebene der komplexen Zahlen können wir die Form P_n =e^iϕn verwenden.

Wir wählen nun einen Faktor f ≥2, f ∈! und zeichnen die Sehne vom Punkt mit der Nummer n zum Punkt mit der Nummer fnmodm, also die Sehne P_nP_fnmodm. In kom- plexer Schreibweise ist P_fnmodm =e^ifϕn; da e^it in t die Periode 2π hat, wird das Rechnen mit dem Modul m automatisch erledigt.

Die folgenden Abbildungen zeigen links zum Modul m=9 der Reihe nach die Situati- onen für f =2,…, 9. Rechts ist die Sehne P_nP_fnmodm ersetzt durch den Vektor von

P_n nach P_fnmodm. Wir sehen, welcher Punkt wohin zielt.

f = 2

Der Punkt P₀ erscheint isoliert, weil er auf sich selber zielt. Zwischen den Punkten P₃ und P₆ haben wir einen Doppelpfeil, da P₃ nach P₆ zielt und umgekehrt.

f = 3

P₀ erscheint als schwarzes Loch, in das nur Pfeile einmünden.

f = 4

P₀, P₃ und P₆ zielen je auf sich selber, erscheinen daher isoliert. Im Übrigen haben wir zwei gleichseitige Dreiecke, das eine positiv orientiert und das andere negativ.

f = 5

Im Vergleich zu f =2 laufen die Pfeile in der Gegenrichtung.

f = 6

f = 7

Im Vergleich zu f =4 laufen die Pfeile in der Gegenrichtung.

f = 8

f = 9

P₀ erscheint als schwarzes Loch, in das nur Pfeile einmünden.

Sämtliche Figuren haben eine horizontale Symmetrieachse.

Soweit so gut. Nun versuchen wir es einmal mit m=144. Für f =2 ergibt sich:

m = 144, f = 2

Aus Platzgründen ist nur jeder zweite Punkt nummeriert, und es sind nur die Nummern angegeben. Wir sehen eine Kurve, welche an die Kardioide (Herzkurve) erinnert. Wir werden später sehen, dass die Enveloppe der Sehnen tatsächlich die Kardioide ist.

Mit f =3 ergibt sich eine Kurve mit zwei Spitzen nach innen.

f = 3

Bei f =4 ergeben sich drei Spitzen nach innen.

f = 4

Wir vermuten, dass wir jeweils f −1 Spitzen nach innen erhalten.

Tatsächlich ist nur f für das Aussehen der Kurve relevant. Für m=97 und immer noch f =4 sieht das einfach ein bisschen dünner aus, ist aber immer noch dieselbe Kurve.

Anderes m, gleiches f 2 Radlinien

Eine Radlinien entsteht, indem wir ein Rad auf einer Unterlage abrollen lassen und die Bahnkurve eines Punktes auf der Peripherie des Rades verfolgen. Das einfachste Bei- spiel ist die Zykloide; diese entsteht durch Abrollen auf einer Geraden. Wird ein Rad auf einem Kreis mit gleichem Radius abgerollt, entsteht die Kardioide. Hat das Rad halb so großen Radius wie der Kreis, ergibt sich eine Radlinie mit zwei Spitzen nach innen.

Ist der Radradius ¹_k des Kreisradius, ergeben sich k Spitzen nach innen. Die folgende Abbildung zeigt die Radlinie für ¹₃, also mit 3 Spitzen. Der als Unterlage dienende Kreis ist magenta, die Radlinie blau gezeichnet. Das Rad dreht bei einem Umlauf nicht etwa drei Mal, sondern vier Mal, weil es auch noch die Gesamtkrümmung des magenta Unterlage-Kreises bewältigen muss.

Radlinie

Wir bezeichnen im Folgenden mit r₁ den Radius des Unterlage-Kreises und mit r₂ den Radradius. Die Radlinie kann als Überlagerung zweier Kreisbewegungen gesehen wer- den: Die Radnabe bewegt sich auf einem Kreis mit Radius r₁+r₂. Dazu kommt die Radbewegung selber. Bei einer Radlinie mit f −1 Spitzen muss sich dass Rad f Mal drehen pro Umlauf. Damit kann die Radlinie in der Gaußschen Zahlenebene parametri- siert werden:

z t

( )

⁼

(

^r1+r₂

)

^{eit +r}2e^ift, t∈

[

0, 2π

]

Zur Berechnung der Radien r₁ und r₂ überlegen wir wie folgt: Zunächst ist:

r₂ =r_{1 f}¹₋₁

Da in unserem Kontext die Figur in den Einheitskreis passen muss, haben wir:

r₁+2r₂ =1 Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich:

r₁= ^f_f⁻¹₊₁ , r₂ = _f¹₊₁

r₁+r₂ = _f^f₊₁

Für die Parametrisierung der Radlinie erhalten wir daraus:

z t

( )

⁼

(

^r1+r₂

)

^{eit +r}2e^ift = _f^f₊₁e^it + _f¹₊₁e^ift, t∈

[

0, 2π

]

Die folgende Abbildung zeigt im Fall m=144, f =5 sowohl die Sehnen wie auch die Radlinie.

Sehnen und Radlinie

Offensichtlich ist die Radlinie die Enveloppe der Sehnen. Die Punkte 0, 36, 72 und 108 sind isoliert, von ihnen geht keine Sehne aus, weil die Punkte je mit sich selber verbun- den sind. Diese Punkte sind aber auch die äußersten Punkte der Radlinie. Der Punkt 18 ist mit dem Punkt 90 durch einen Durchmesser verbunden und umgekehrt. Dasselbe gilt auch für die Punkte 54 und 124. Auf diesen Durchmessern liegen die Spitzen der Radli- nie.

3 Beweis

3.1 Vorbereitung

Zur Vorbereitung des Beweises zeichnen wir im Beispiel m=9, f =2 zusätzlich die Punkte KP_n =z

( )

ϕ_n ein. Das sind diejenigen Punkte auf der Radlinie (in unserem Bei- spiel auf der Kardioide), welche zu den Parameterwerten t=ϕ_n gehören.

Kissing Points

Die Figur führt zu folgenden Vermutungen: Die Sehnen sind tangential an die Radlinie.

Die Punkte KP_n =z

( )

ϕ_n liegen auf der Sehne mit den Endpunkten P_n und P_fnmodm und sind die Berührpunkte.

Für den Beweis benötigen wir den Tangentialvektor der Radlinie, in komplexer Schreibweise:

d

dtz t

( )

⁼ _f^if₊₁^{eit +} _f^if₊₁^{eift =} _f^if₊₁

(

^{eift +eit}

)

3.2 Analyse des Beweises

Die Behauptung ist nun folgende: Für e^iϕ ≠e^ifϕ ist die Gerade durch e^iϕ und e^ifϕ Tangente an die Radlinie z t

( )

mit Berührpunkt z

( )

ϕ ^.

Beweis in zwei Schritten:

1) z

( )

ϕ liegt auf der Geraden durch e^iϕ und e^ifϕ. 2) z′

( )

ϕ ist parallel zur Geraden durch e^iϕ und e^ifϕ.

3.3 Erster Schritt Zu zeigen ist:

z

( )

ϕ ^{=eiϕ +s}

(

^{eifϕ −eiϕ}

)

^{mit s∈!}

Also:

s= ^z( )^{ϕ −eiϕ}

e^ifϕ−e^iϕ =

f

f+1e^iϕ+_f¹₊₁e^ifϕ−e^iϕ

e^ifϕ−e^iϕ = _f¹₊₁ ^{feiϕ+eifϕ−}(^f+1)^eiϕ

e^ifϕ−e^iϕ = _f¹₊₁ ^eifϕ−eiϕ

e^ifϕ−e^iϕ = _f¹₊₁∈!

3.3.1 Bemerkung

Es ist s=r₂. Der Berührpunkt KP_n =z

( )

ϕ_n teilt die Sehne P_nP_fnmodm immer im glei- chen Verhältnis.

3.4 Zweiter Schritt Zu zeigen ist:

d

dtz

( )

ϕ ^=λ

(

^{eifϕ −eiϕ}

)

^{mit λ∈!}

Also:

λ= ^dtdz( )^ϕ

e^ifϕ−e^iϕ = _f^if₊₁ ^eifϕ+eiϕ

e^ifϕ−e^iϕ

Erweitern mit e^−iϕ

f+1

2 liefert:

λ= _f^if₊₁ ^eiϕ

f−1 2 +e^−iϕ

f−1 2 e^iϕ

f−1 2 −e^−iϕ

f−1 2

= _f^f₊₁ ^cosϕ

f−1

( )

2 sin

( )

ϕ^f₂^{−1 ∈!}

3.4.1 Bemerkungen

a) Für ϕ ^f₂⁻¹=kπ,k∈! wird der Sinus im Nenner null, λ existiert nicht oder ist, intui- tiv gesprochen, „unendlich“. Aus ϕ ^f₂⁻¹=kπ,k∈! folgt: ϕ = ²_f^kπ₋₁, aus Periodizitäts- gründen ist nur k=1, 2,…,f −1 relevant. Weiter ist:

fϕ = f ²_f^kπ₋₁=

(

f −1+1

)

²_f^kπ₋₁^{=2kπ+ 2kπ}_f−1^=2kπ+ϕ

e^ifϕ =e^iϕ

Wir haben es also mit Kreispunkten zu tun, die auf sich selber abgebildet werden. Die Sehne mit den Endpunkten e^iϕ und e^ifϕ degeneriert zu einem Punkt und hat keine Richtung. Die Abbildung zeigt den Fall f =4. Die kritischen Punkte (hellblau) sind die extremen Punkte der Radlinie.

Extreme Punkte

b) Für ϕ ^f₂⁻¹ = ^π₂ +kπ,k∈! werden der Kosinus im Zähler und damit λ null. Wir er- halten:

ϕ ^f₂⁻¹= ^π₂ +kπ

ϕ= _f¹₋₁

(

π+2kπ

)

fϕ=

(

f −1+1

)

_f¹₋₁

(

^π+2kπ

)

^=π+2kπ+ _f¹₋₁

(

^π+2kπ

)

^=π+2kπ+ϕ

e^ifϕ =eⁱ(^π+2kπ+ϕ)_=−eⁱϕ

Die Sehne mit den Endpunkten e^iϕ und e^ifϕ ist ein Durchmesser. Die Abbildung zeigt den Fall f =4. Die kritischen Punkte sind die Spitzen der Radlinie. Hier verschwindet der Tangentialvektor.

Spitzen 3.5 Optische Sonderfälle

Die Enveloppe ist nicht immer sichtbar. Die Tangentialeigenschaft gilt aber trotzdem.

Dazu zwei Beispiele.

Für m=9, f =8 ergibt sich:

m = 9, f = 8

Für m=9, f =9 erhalten wir:

m = 9, f = 9

4 Ausstieg aus dem Kreisraster

Wir haben gesehen, dass der Modul m für das Aussehen der Radlinie irrelevant ist, auch im Beweis kam m nirgends vor. Wir verzichten daher auf die m gleichmäßig verteilten Startpunkte P_n und machen folgendes. Wir beginnen mit einem beliebigen von null verschiedenen Winkel ϕ und definieren auf dem Einheitskreis die Punkte Q_j =e^ifjϕ. Dann zeichnen wir den Polygonzug Q₀Q₁Q₂…. Physikalisch kann man sich einen re- flektierenden Kreis (runder Billard-Tisch) vorstellen, der so reflektiert, dass der Ab- gangswinkel das f-fache des Auftreffwinkels modulo π ist.

Für ϕ = ¹₂ (irrational zu π, wir kommen nie mehr zurück) und f =4 sieht der Start so aus:

Start

Bei 500 Strecken des Polygonzuges ist die Radlinie sichtbar. Die Figur als Ganzes ist aber unregelmäßig.

Radlinie