Rhomben
Anregung: R. S., C.
1 Konstruktionsvorgang
Wir beginnen mit n+1 Punkten P0,P1,…,Pn mit Pk−1Pk ≤2. Die Abbildung 1 zeigt die Situation für n=6.
Abb. 1: Ausgangslage
Nun ergänzen wir die Punkte zu Rhomben mit der Seitenlänge 1 gemäß Abbildung 2.
Zwei aufeinander folgende Punkte werden diametrale Eckpunkte eines Rhombus.
Abb. 2: Rhomben der Seitenlänge 1
Wir ergänzen mit weiteren Rhomben gemäß Abbildung 3.
Abb. 3: Weitere Rhomben
Schließlich können wir weitere Rhomben anfügen gemäß Abbildung 4. Es entsteht ein dynamisches Schachbrettmuster.
Abb. 4: Ergänzung zum dynamischen Schachbrettmuster
Das dynamische Schachbrettmuster ist nur abhängig von den n+1 Punkten P0,P1,…,Pn.
Die Figur kann zu einer Kachelung der ganzen Ebene ausgeweitet werden (Abb. 5). Das liegt daran, dass gegenüberliegende Seiten kongruent und parallel sind. Die äußersten Ecken bilden ein Parallelogramm (in der Regel kein Rhombus).
Abb. 5: Kachelung der Ebene
2 Spezielle Lage der Basispunkte. Beispiele 2.1 V-Form
In der Abbildung 6 sind die Basispunkte V-förmig und mit dem Abstand 2 angeord- net. Wir erhalten ein Karo-Raster, das um die Ecke geht.
Abb. 6: Karo-Raster um die Ecke Die Abbildung 7 zeigt die zugehörige Kachelung der Ebene.
Abb. 7: Tanzende Quadrate
2.2 Punkte auf Parabel
Die Basispunkte sind bezüglich der x-Koordinate gleichmäßig und symmetrisch auf einer quadratischen Parabel verteilt (Abb. 8).
Abb. 8 Punkte auf Parabel Die Abbildung 9 zeigt die zugehörige Kachelung der Ebene.
Abb. 9: Kachelung der Ebene
2.3 Der Zickzack im Winkel
Wir wählen einen Winkel, der einen Bruchteil von 180° misst. In der Abbildung 10 ist ein Winkel von 15° gewählt worden. Auf dem einen Schenkel wählen wir einen belie- bigen Punkt P0 und ergänzen zu einer Zickzacklinie der Seitenlänge 1 gemäß Abbil- dung 10. Über Zickzack-Linien dieser Art siehe [Francke 2011a], [Francke 2011b] und [Walser 1988].
Abb. 10: Winkel und Zickzacklinie Nun passen wir die Rhomben ein (Abb. 11).
Abb. 11: Einpassen der Rhomben
Die Figur ist achsensymmetrisch. Wegen der speziellen Wahl des Winkels kann sie zu einer Rosette ergänzt werden (Abb. 12). In der Mitte haben wir allerdings ein Loch.
Abb. 12: Rosette
Wir legen nun den Punkt P0 speziell in den Scheitelpunkt (Abb. 13).
Abb. 13: Startpunkt im Scheitel
Sämtliche Rhombenwinkel sind nun in einem rationalen Verhältnis zu 360°. Ausspie- geln ergibt die Rose der Abbildung 14. In der Mitte haben wir kein Loch mehr.
Abb. 14: Rose
Der Umriss der Rose ist ein regelmäßiges Vieleck, in der Abbildung 14 ein regelmäßi- ges Zwölfeck.
Allerdings lässt sich das regelmäßige Vieleck sparsamer mit den Rhomben auskacheln (Abb. 15).
Abb. 15: Tulpe Literatur
[Francke 2011a] Francke Dietrich: Gleichschenklige Teildreiecke im regelmäßigen Vieleck. Elemente der Mathematik 66 (2011), S. 155-163.
[Francke 2011b] Francke, Dietrich: Vielfachteilung eines Winkels mittels Halbie- rungsrhomben. Die Wurzel, 45, Juni 2011, S. 135-137.
[Walser 1988] Walser, Hans: Ein Schließungssatz der Elementargeometrie. Ele- mente der Mathematik (43), 1988, 161-169.
