() () () t P P P P = P 1.125 P P P P P P P P P P t 0,0 ,0 0,1 − 0 n n − − 1 1 1 2 0 2 n n 1 − n 1 + 1 n 1 − 0 1

(1)

Hans Walser, [20140312]

Verallgemeinerung der Parabel Anregung: Wynands, 2014, S. 21, Aufgabe 2

1 Eine Folge von ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken

Im kartesischen Koordinatensystem zeichnen wir ein Dreieck mit en Ecken P₋₁

( )

0,1 ^, P₀

( )

0,0 ^,^P1

( )

t,0 . Wir haben einen offenen Parameter t. In der Abbildung 1a ist t =1.125 gewählt worden.

Abb. 1: Ähnliche Dreiecke

Weiter zeichnen wir ein zum Dreieck P₋₁P₀P₁ ähnliches Dreieck P₀P₁P₂ (Abb. 1b).

Wir iterieren den Prozess: zum Dreieck P_n−2P_n−1P_n zeichnen wir ein ähnliches Dreieck P_n−1P_nP_n+1. Die Abbildung 1 zeigt die ersten Schritte.

P₀ P_–1

P₁ x y

1 1

P₀ P_–1

P₁ P₂

x y

1 1

P₀ P_–1

P₁ P₂ P₃

x y

1 1

P₀ P_–1

P₁ P₂ P₃

P₄

x y

1 1

a) b)

d) c)

(2)

Hans Walser: Verallgemeinerung der Parabel 2 / 12

2 Spiralen

Es entsteht eine eckige logarithmische Spirale (Abb. 2).

Abb. 2: Eckige Spirale

(3)

Die Punkte P₋₁,P₀,P₁,P₂,… liegen aber auch auf einer runden logarithmischen Spirale (Abb. 3).

Abb. 3: Logarithmische Spirale 3 Parabel

Wir hatten für die ersten drei Punkt die Koordinaten festgelegt:

P₋₁

( )

0,1 ^, ^P₀

( )

^0,0 ^, ^P₁

( )

^t,0

Dabei ist t ein noch freier Parameter. Wenn wir t variieren, bewegt sich der Punkt P₁ auf der x-Achse.

Für den nächsten Punkt P₂ ergeben sich auf Grund der Ähnlichkeitskonstruktion die Koordinaten P₂

( )

t,t² . Wenn wir also den Parameter t variieren, bewegt sich der Punkt

P₂ auf der quadratischen Parabel y=x².

Die Abbildung 4 zeigt die Bahnkurven von P₁ und P₂.

(4)

Abb. 4: Die Parabel erscheint 4 Weitere Kurven

Für die nachfolgenden Punkte erhalten wir die Koordinaten:

P₃=

(

t−t³,t²

)

P₄ =

(

t−t³,t²−t⁴

)

P₅ =

(

t−t³+t⁵,t²−t⁴

)

P₆ =

(

t−t³+t⁵,t²−t⁴+t⁶

)

P_n =

( )

−1 ^k−1^t²^k−1

k=1

n2

⎡⎢ ⎤⎥

∑

^,

^{( )}

⁻¹ ^k−1^t²^k

k=1

n2

⎢⎣ ⎥⎦

⎛

∑

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

Die folgenden Abbildungen zeigen die zugehörigen Kurven, die sich durch Variation von t ergeben.

(5)

Abb. 5: n = 3

Abb. 6: n = 4

(6)

Abb. 7: n = 5

Abb. 8: n = 6

(7)

Abb. 9: n = 7

Abb. 10: n = 8

(8)

Abb. 11: n = 9

Die Abbildung 12 zeigt eine Überlagerung der Fälle n = 0, ... , 9 für t aus dem Intervall [–1, 1]. Wir sehen, dass sich ein gewisses Grundmuster modulo 4 wiederholt.

Abb. 12: n = 0, ... , 9

(9)

Im Folgenden noch einige größere Werte für n.

Abb. 13: n = 80

Abb. 14: n = 81

(10)

Abb. 15: n = 82

Abb. 16: n = 83

(11)

Die Abbildung 18 zeigt die Überlagerung der Fälle n = 80, ... , 83.

Abb. 17: n = 80, ... , 83

Wo ist der obere Halbkreis geblieben? Die Abbildung 18 zeigt die Situation für n=−83,…,−80.

Abb. 18: n = –83, ... , –80

(12)

Literatur

Wynands, Alexander (2014): Mathematische (Basis-)Kompetenzen im Abitur.

(Un-)Verzichtbare Mathematik für „Allgemeinbildung“ und Hochschulzugang.

GDM-Mitteilungen 96, 2014. S. 19-23.