) () () 12 M 1,0 0, p p ∈ , ∞⎡⎣ () M 0, p ST

Hans Walser: Eine Konstruktion des Goldenen Schnittes 1/4

Hans Walser, [20090703b]

Eine Konstruktion des Goldenen Schnittes Idee von J. N., S.

1 Worum es geht

Es wird eine Konstruktion des Goldenen Schnittes mit einem freien Parameter bespro- chen.

2 Konstruktionsbeschreibung

1 M

( )

0,p

S

T

e k

K

x y

g

O

τ

Konstruktion

Auf der y-Achse wählen wir einen beliebigen Punkt M

( )

0,p ; p ist also ein freier Para- meter für die Konstruktion. Für eine reelle Konstruktion muss p ∈⎡⎣¹₂,∞

)

^sein.

Kreis k um M schneiden mit dem Einheitskreis e; Schnittpunkt S. Gerade g durch Ur- sprung O und S. Kreis K um M durch Einheitspunkt

( )

1, 0 auf der x-Achse. Schnitt von K mit g gibt T. Die Strecke OT hat die Länge τ des Goldenen Schnittes.

Hans Walser: Eine Konstruktion des Goldenen Schnittes 2/4

3 Nachweis Einheitskreis e:

e: x² +y² =1 Kreis k:

k: x² +

(

y−p

)

^{2 = p2}

x² +y² −2py=0 Schnittpunkt S:

x²+y² =1 x²+y²−2py=0

⎫⎬

⎪

⎭⎪

⇒2py=1

y= ₂¹_p x= ± 1− ¹

4p²

Wir nehmen den positiven Wert und erhalten: S 1− ¹

4p²,₂¹_p

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Gerade g:

y=

1 2p 1− ¹

4p2

x= ¹

4p²−1x Oder in anderer Darstellung:

x=y 4p² −1 Radius R des Kreises K:

R² =1+ p² Kreis K:

x² +

(

y− p

)

^{2 =1+p2}

x² +y² −2py=1 Schnittpunkt T mit der Geraden g:

y 4p²−1

( )

^2+y2−2py=1

y²

(

4p²−1

)

^+y2−2py=1

4p²y² −2py−1=0 2py

( )

^{2 −2py−1=0}

Dies ist die Gleichung des goldenen Schnittes für 2py. Es ist also (wir nehmen die po- sitive Lösung):

Hans Walser: Eine Konstruktion des Goldenen Schnittes 3/4

2py=τ =¹⁺₂⁵ y= ₂^τ_p Weiter ist:

x=y 4p² −1= ₂^τ_p 4p² −1 Somit haben wir:

T

(

₂^τ_p 4p² −1,₂^τ_p

)

Für den Abstand vom Ursprung ergibt sich:

OP! "!!

=

(

₂^τ_p 4p² −1

)

^{2 +}

^{( )}

^{2τp 2 =τ 4p42p−1+12 =τ}

Dies war zu beweisen.

4 Sonderfälle 4.1 p= ¹₂

Für p= ¹₂ fällt die Gerade g mit der y-Achse zusammen und wir erhalten eine klassi- sche Konstruktion. Der kleine Kreis k ist nur zur Verdeutlichung eingezeichnet, für die Konstruktion ist er nicht erforderlich.

1 M

( )

0,¹₂ S

T

e k

K

x y

g

O τ

Klassische Konstruktion für p= ¹₂

Hans Walser: Eine Konstruktion des Goldenen Schnittes 4/4

4.2 p=1

Die Figur lässt sich mit einem Quadrat und einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlän- gen 1 ergänzen.

x y

1 M

( )

0,1

S

T

e k

K

g

O

τ

Konstruktion für p=1 Damit kann die Konstruktion einfacher dargestellt werden.

1 M

S T K

g

O

τ

Vereinfachte Darstellung