p photon = ~ p photon 0 + p ~ elektron .

1 Übungsblatt Theoretische Physik IV

1.1 (Compton-Eekt)

WirbetrachtendenCompton-Eekt.HierbeiwirddurchdieStreuungvonRöntgenstrah-

lungan einem Elektron eineStreuung beobachtet. Wobeidasvorher inruhebendliche

ElektroneinenStoÿerhältunddieWellenlänge derRöntgenstrahlung verändertwird,da

ein Energieübertrag stattndet. Es gelten derEnergieerhaltungssatz und der Impulser-

haltungssatz:

E _photon + E 0 ,elektron = E _photon 0 + E _elektron ,

⁽¹⁾

~

p _photon = ~ p _photon 0 + p ~ _elektron .

⁽²⁾

Hierbei kann der Impuls-Term des Elektrons der auf der linken Seite stehen würde,

d.h. vor demStoÿ, weggelassen werden, da das Elektron vor dem Stoÿ inRuhe ist und

somit

~ p 0 ,elektron = 0

^ist.

Zudemgilt die relativistische Energie-Impuls-Beziehung:

~ p = ~ ~k,

hierausfolgt:

|~ p| _photon = ~ ~k

= ~ 2π

λ = h

λ .

⁽³⁾

Für dasElektrongilt:

E 0 ,elektron = m 0 c ² und E _elektron = m e c ² ,

⁽⁴⁾

undausderrelativistischenEnergie-Impuls-Beziehung(relativistischeKinematik)folgt:

E _elektron = q

E ² _{0 ,elektron} + ~ p _elektron ² c ²

⁽⁵⁾

während für dieEnergie desPhotons dieBeziehung

(m 0 ,photon = 0)

^:

E _photon = |~ p| _photon c = h

λ c = hν = ~ ω

⁽⁶⁾

gilt.

e ⁻ E _photon , ~ p _photon , λ

E _photon 0 , ~ p _photon 0 , λ ⁰

E _elektron , ~ p _elektron θ

p ² _elektron = p ² _photon + p ² _photon 0 − 2 p _photon p _photon 0 · cos θ

⁽⁷⁾

Wirsetzen aus

(1) ,

^{nachdemwirnach}

E 0 ,elektron

^{umgestellt haben,und}

(7)

ⁱⁿ

(5)

^ein

underhalten:

E _elektron = r

E _photon 0 + E _elektron − E _photon ²

−

p ² _photon + p ² _photon 0 − 2 p _photon p _photon 0 · cos θ c ² .

Nun setzen wir die Beziehungen für die Impulse und Energien, die oben dargestellt

wurden einund quadrierenbeideSeiten, diesliefert:

m ² _e c ⁴ =

hc 1

λ − 1 λ ⁰

+ m _e c ^{2 2}

+ h ² c ² λλ ⁰

2 · cos θ − λ ^{0 2} + λ ² λλ ⁰

Wirkönnen nunumformen:

m ² _e c ⁴ = hc

λλ ⁰ λ ⁰ − λ

+ m _e c ^{2 2}

+ h ² c ² λλ ⁰

2 · cos θ − λ ^{0 2} + λ ² λλ ⁰

m ² _e c ⁴ =

hc λλ ⁰

λ ⁰ − λ ²

+ 2 m _e hc ³

λλ ⁰ λ ⁰ − λ

+ m ² _e c ⁴ + h ² c ² λλ ⁰

2 · cos θ − λ ^{0 2} + λ ² λλ ⁰

m _e c

h λ − λ ⁰

= 1 2

"

(λ ⁰ − λ) ² − λ ² − λ ^{0 2} λλ ⁰

#

+ cos θ λ ⁰ − λ

= h

m _e c

− 1 2

h

λ ⁰ − λ ²

− λ ² − λ ^{0 2} i

− cos θ

λ ⁰ − λ

= h

m _e c

− 1 2

(−2λλ ⁰ )

λλ ⁰ − cos θ

λ ⁰ − λ

= h

m _e c (1 − cos θ)

Mit

λ _c = _m ^h

e c

^{der Compton-Wellenlänge folgt somit die gesuchte} Abhängigkeit vom Streuwinkel:

∆λ = λ ⁰ − λ

= λ _c (1 − cos θ)

1.2 (Bohrsches Atommodell)

Wir betrachten die klassische Bewegung eines Elektrons mit der Ladung

−e

^{im Feld}

eines Proton mit der Ladung

+e

(Wassersto-Atom). Mit den Bohrschen Atommodell sinddieAnnahmen verbunden, dasseinElektronsichauf Kreisbahnen bewegtunddass

derDrehimpulsnur diediskretenWerte

L = n ~

annehmen kann.

a)

Es gilt:

E = V + T

⁽⁸⁾

Für diepotentielle Energie, diedassichbewegende Elektron inRadialrichtung spürt,

erhaltenwirhauptsächlichdasCoulombpotential,welchesdurchdasProtonerzeugtwird.

(z.B.istdieGravitationskraftzwischenderMassedesProtonsundderdesElektronsver-

nachlässigbar kleingegenüber der elektrostatischen Anziehung des Coulombpotentials.)

FürdasCoulombpotential gilt:

V = − e ² 4π 0 r ,

während diekinetische Energie inPolarkoordinaten:

T = 1

2 m r ˙ ² + 1

2 mr ² ϕ ˙ ² ,

mit

L = mr ² ϕ ˙

^beträgt.

Einsetzen in

(8)

^liefert:

E = − e ² 4π 0 r + 1

2 m r ˙ ² + 1 2

m ² r ⁴ ϕ ˙ ²

mr ² = − e ² 4π 0 r + 1

2 m r ˙ ² + 1 2

L ² mr ²

Es folgt also, da das Problem radialsymmetrisch ist, für das eektive Potential in

radialer Richtung:

V _{ef f} = − e ² 4π ⁰ r + 1

2 L ² mr ² .

Die Annahme,dass

L

^{nurdiskreteWerte annehmenkann,führtzumErgebnis:}

V _{ef f} = − e ² 4π ⁰ r + 1

2 n ² ~ ²

mr ² .

EssinddieEnergien

E _n ,

^{dieBahnradien}

r _n

^unddieGeschwindigkeiten

v _n

^zubestimmen,

diedasElektron besitzenkann.Hierzu benutzenwirdie Bedingung ausdemBohrschen

Atommodell:

L = n ~ ⇔ mvr = n ~ ⇔ 2πr = nλ.

⁽⁹⁾

ZudembewegtsichdasElektronaufeinerKreisbahn,somitfolgtalsodasKräftegleich-

gewicht deranziehenden Coulombkraft und derabstoÿenden Zentrifugalkraft:

F _C = −F _z

⁽¹⁰⁾

− e ²

4π 0 r ² = −m v ²

r

⁽¹¹⁾

Umstellen von

(11)

^liefert:

e ²

4π 0 mv ² = r,

⁽¹²⁾

wobeiaus

(9)

^{nachumstellen}

v = _mr ^{n ~}

eingesetzt werden kann:

e ² 4π 0 m _m ^{n 2} 2 ^~ r ^{2 2}

= r ⇔ r _n = 4π 0

e ² n ² ~ ²

m .

⁽¹³⁾

FürdieGeschwindigkeitkönnenwirnun

(12)

^{umstellen,aus}

(9)

^{einsetzenunderhalten:}

e ²

4π 0 mv ² = n ~

mv ⇔ v n = e ² 4π 0

1

n ~ .

⁽¹⁴⁾

Es gilt diepotentielle Energie für dasCoulombpotential:

V = − e ² 4π 0

1 r ,

während für diekinetische Energie:

T = 1

2 mv ² = 1 2 · e ²

4π ⁰ 1 r ,

gilt. DieGesamtenergie folgtmit:

E = T + V = − 1 2 · e ²

4π 0

1 r ,

wirkönnen noch

r

^aus

(13)

^{einsetzen underhalten:}

E n = − 1 2 · e ²

4π 0

1 r _n = − 1

2 · e ²

4π 0

²

m

n ² ~ ² .

E _n = − 1 2 ·

e ² 4π 0

² m n ² ~ ² , r _n = 4π 0

e ² n ² ~ ²

m , v _n = e ²

4π 0

1 n ~ ,

gegeben.

c)

Nach derAnnahmeBohrs kannnur Strahlung derFrequenz

~ ω = E _n 1 − E _n 2 (n ¹ > n 2 )

emittiert werden. Wir vergleichen

ω

^für

n 1 = n + 1

^und

n 2 = n

^{für den Grenzfall}

n → ∞

^{mit der}klassischenKreisfrequenz.

Es folgt:

ω = m 2 ~ ³ ·

e ² 4π ⁰

²

· 1

n ² − 1 (n + 1) ²

,

wobei

1

n ² − 1

(n + 1) ² = (n + 1) ²

n ² (n + 1) ² − n ²

n ² (n + 1) ² = 2n + 1 n ⁴ + 2n ³ + n ² .

Dieser Termverhält sich fürgroÿe

n

^{also wie}

ω = e ⁴ m

32π ^{2 2} ₀ ~ ³ 2 n ³ .

Für dieklassische Kreisfrequenzgilt:

ω _klassisch = v r ,

setzen wirnun

(13)

^und

(14)

^{ein, sofolgt:}

ω _klassisch =

e ² 4 π 0

1 n ~ 4 π 0

e ² n ² ~ ²

m

= me ⁴ (4π 0 ) ² ~ ³

1

n ³ = e ⁴ m 32π ^{2 2} 0 ~ ³

2 n ³ .

Wirnden also imVergleichfür groÿe

n

^{dassderklassische Fall eingleichesErgebnis}

liefert.DiesnenntmanKorrespondenzprinzip,dadieklassischeDarstellungdenGrenzfall

der Quantenmechanik darstellt, die alte Theorie (klassisch) ist also ein Teil der neuen

Theorie.

Die Larmor-Formel:

P = 2 3

e ² 4π 0 c ³ a ² ,

gilt für die abgestrahlte Leistung einer beschleunigten Ladung

e.

^{Wir berechnen die}

Energie pro Zeiteinheit, die ein Elektron auf einer Bohrschen Kreisbahn im klassischen

Bild verlieren würde. Bei der Bewegung auf einer Kreisbahn, bewirkt die Kraft eine

Beschleunigung von

a = v ² r .

Einsetzen von

(13)

^und

(14)

^indieLarmor-Formel liefert:

P = 2 3

e ² 4πε 0 c ³

e ⁸ 4 ⁴ π ⁴ ε ⁴ 0 n ⁴ ~ ⁴

e ⁴ m ² 4 ² π ² ε ² 0 n ⁴ ~ ⁴

= 2 3

e ¹⁴ m ² 4 ⁷ π ⁷ ε ⁷ 0 n ⁸ ~ ⁸ c ³ .

Die Dauer derEnergieabstrahlung eines Elektrons ist vonder Bahn

n

^{abhängig. Hier}

wirddeutlich,dassdasklassischeBildimatomarenBereichnichtzutreendist,dasonst

dieElektronen stetsEnergie verlieren würden und Wasserstoatome instabil wären.