Aufgabe 8. (i) F¨ ur d ∈ N bezeichne O

(1)

Aufgabe 8. (i) F¨ ur d ∈ N bezeichne O

^d

, C

^d

bzw. K

^d

jeweils das System aller offenen, abgeschlossenen bzw. kompakten Teilmengen des R

^d

. Zeigen Sie

B( R

^d

) = σ(O

^d

) = σ(C

^d

) = σ(K

^d

).

(ii) Folgern Sie mit (i): Jede stetige Abbildung f : R

^m

→ R

ⁿ

ist Borel-meßbar.

(i) Zur Erinnerung: Es sei E ein Mengensystem einer nicht-leeren Grundmenge Ω. Mit σ(E ) ist die kleinste σ-Algebra bezeichnet, die E enth¨ alt. Wir sagen auch:

” Die σ-Algebra σ(E ) wird von E erzeugt.“ Es gilt stets E ⊂ σ(E ).

Mit B( R

^d

) ist die Borelsche σ-Algebra auf R

^d

bezeichnet, also die σ-Algebra die von den halboffenen Quader des R

^d

erzeugt wird.

Nun zum eigentlichen Beweis:

(a) Wir zeigen zun¨ achst, dass σ(C

^d

) = σ(K

^d

) gilt. Nach dem Satz von Heine-Borel ist eine Teilmenge des R

^d

genau dann kompakt, wenn sie beschr¨ ankt und abgeschlossen ist (diese Aussage ist eine Verallgemeine- rung des Satzes 5.42 aus dem Kompendium). Somit ist jede kompakte Menge des R

^d

auch abgeschlossen. Somit gilt K

^d

⊂ C

^d

. Daraus folgt

σ(K

^d

) ⊂ σ(C

^d

). (1)

Jede kompakte Menge C ∈ C

^d

ist die Vereinigung einer Folge von abgeschlossenen Mengen C

_n

∈ K

^d

: Hierzu sei a ∈ R

^d

fest gew¨ ahlt und K

_n

die kompakte Kugel mit Radius n um a. Wir setzen dann

C

n

:= C ∩ K

n

.

Somit ist C

_n

der Schnitt von zwei abgeschlossenen Mengen und damit abgeschlossen. Ferner ist

C = [

n∈N

C

_n

.

Also liegt die Menge der kompakten Menge C

^d

in der σ-Algebra σ(K

^d

), d.h.

C

^d

⊂ σ(K

^d

).

Demnach ist

σ(C

^d

) ⊂ σ(K

^d

). (2)

(2)

Aus (1) und (2) folgt dann

σ(C

^d

) = σ(K

^d

).

Die offenen Mengen sind die Komplemente der abgeschlossenen Mengen, also gilt auch

σ(O

^d

) = σ(C

^d

) = σ(K

^d

).

(b) Wir zeigen nun σ(O

^d

) = B( R

^d

). Zun¨ achst zeigen wir B( R

^d

) ⊂ σ(O

^d

).

Es seien a, b ∈ R

^d

mit a = (α

₁

, . . . , α

_d

) und b = (β

₁

, . . . , β

_d

). Ferner sei a < b, d.h. α

_j

< β

_j

f¨ ur j = 1, . . . , d. Gegeben sei ein halboffener Quader (a, b] ∈ R

^d

.

Es sei

O

n

:= (a

n

, b) mit

a

_n

= (α

₁

−

_n¹

, . . . , α

_d

−

_n¹

)

ein offener Quader. Dann ist (O

_n

)

n∈N

eine monoton fallende Mengen- folge offener Mengen des R

^d

deren Schnitt (a, b] ist. Daraus folgt dann die Behauptung.

Wir zeigen σ(O

^d

) ⊂ B( R

^d

). Umgekehrt sei nun ein halboffener Quader (a, b) ∈ R

^d

gegeben. Es sei

H

n

:= (a, b

n

] mit

b

_n

:= (min(α

₁

, β

₁

+

_n¹

), . . . , min(α

_d

, β

_d

+

¹_n

)).

Dann ist (H

_n

)

n∈N

eine monoton wachsende Mengenfolge halboffener Mengen des R

^d

deren Vereinigung (a, b) ist. Daraus folgt dann die Be- hauptung.

(ii) Es sei f : R

^m

→ R

ⁿ

stetig. Zur Erinnerung: Eine Funktion f : R

^m

→ R

ⁿ

ist genau dann stetig, wenn das Urbild jeder offenen Mengen in R

ⁿ

offen in R

^m

ist. Wie wir in (i) gezeigt haben, erzeugt das System O

ⁿ

der offenen Mengen in R

ⁿ

die Borelsche σ-Algebra B( R

ⁿ

). Aufgrund der Stetigkeit von f gilt

∀O ∈ O

ⁿ

: f

⁻¹

(O) ∈ O

^m

⊂ B( R

^m

).

Wir haben damit die Meßbarkeitseigenschaft f¨ ur einen Erzeuger gezeigt, damit ist f auch Borel-meßbar.

2