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( C ) diagonalisierbare Matrizen, so dass f¨ ur alle i ≥ 0 gilt: Spur A

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Academic year: 2021

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Prof. Dr. M. Rapoport SS 2004 Dr. U. G¨ ortz

Lineare Algebra II Pr¨ asenzaufgaben, Teil 10

Aufgabe 5

Seien A, B ∈ M

n

( C ) diagonalisierbare Matrizen, so dass f¨ ur alle i ≥ 0 gilt: Spur A

i

= Spur B

i

. Zeige, dass A und B ¨ ahnlich sind.

Aufgabe 6

Sei V

n

der R -Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ n mit reellen Koeffizienten, und sei b: V

n

× V

n

−→ R definiert durch

b(p, q) = Z

1

−1

p(x)q

0

(x)dx.

Zeige, dass b eine Bilinearform ist, schreibe b als Summe einer symmetrischen Bilinearform b

s

und einer antisymmetrischen Bilinearform b

a

und forme b

s

in einen Ausdruck um, in dem kein Integral mehr auftritt.

Aufgabe 7

Betrachte die alternierende Bilinearform auf R

4

, die gegeben ist durch

B =

0 1 0 0

−1 0 1 −2

0 −1 0 −1

0 2 1 0

Gib eine invertierbare Matrix A ∈ GL

4

(R) an, so dass

t

ABA Normalform hat.

Aufgabe 8

Zeige, dass R

4

mit der durch die Strukturmatrix

B =

 1

1

−1

−1

gegebenen Bilinearform ¨ aquivalent ist zum hyperbolischen Raum der Dimension 4.

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