Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Mathematik f¨ur Physiker 2
Ubungsblatt 3, Abgabe bis 12. Mai 12 Uhr¨
Pr¨asenzaufgabe 1. (Spiegelungsmatrizen und Matrixprodukte)
Seiφ∈Rund Sφ:R2 →R2 die Spiegelung entlang der Geraden Eφ:=
λ
cosφ sinφ
:λ∈R
⊂R2.
(a) Bestimmen Sie die Matrix zu Sφ, indem Sie anhand einer Skizze die Bilder der Einheitsvektoren
1 0
und 0
1
unter Sφbestimmen.
(b) Beschreiben SieSφals Nacheinanderausf¨uhrung einer Drehung um einen geeigneten Winkelα, einer Spiegelung entlang der x-Achse und einer anschließenden Drehung um einen geeigneten Winkel β.
(c) Rechnen Sie nach, dass f¨ur die Matrizen zu den linearen Abbildungen aus (b) entsprechendSφ=DβS0Dα gilt, wobei
Dψ =
cosψ −sinψ sinψ cosψ
f¨ur alle ψ∈R.
L¨osung: (a) (Ich lasse hier die Skizze weg). Man betrachte jeweils den zwischen dem Einheitsvektor und der Geraden eingeschlossenen Winkel (im Fall von (1 0)> ist das φ und im Fall von (0 1)> ist dasπ/2−φ) und drehe den Einheitsvektor um das Doppelte dieses Winkels in Richtung der Geraden. Dann findet man als Bild der Einheitsvektoren
D2φ 1
0
=
cos 2φ sin 2φ
bzw. D(2φ−π/2) 0
1
=
cos(2φ−π/2) sin(2φ−π/2)
=
sin 2φ
−cos 2φ
,
also
Sφ=
cos 2φ sin 2φ sin 2φ −cos 2φ
.
(b) Die Spiegelung an der Geraden erh¨alt man wie beschrieben mitα=−φund β=φ.
(c) Wir rechnen cosφ −sinφ
sinφ cosφ
1 0
0 −1
cosφ sinφ
−sinφ cosφ
=
cosφ sinφ sinφ −cosφ
cosφ sinφ
−sinφ cosφ
=
cos2φ−sin2φ 2 cosφsinφ 2 cosφsinφ sin2φ−cos2φ
=
cos 2φ sin 2φ sin 2φ −cos 2π
.
Abzugeben sind alle Aufgaben 1–4.
