Zeigen Sie: (a) Es gibt genau eine Abbildung ln : Cφ→(0,∞)×(φ+ 2kπ, φ+ 2(k+ 1)π) mit elnz =z f¨ur alle z∈Cφgibt

Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 2¨ Blatt 10

Zusatzaufgabe 5 Seiφ∈R, k∈Zund Cφ=C\ {re^iφ:r≥0}. Zeigen Sie:

(a) Es gibt genau eine Abbildung

ln : Cφ→(0,∞)×(φ+ 2kπ, φ+ 2(k+ 1)π)

mit e^lnz =z f¨ur alle z∈Cφgibt. (Diese Abbildung nennt man im Fallφ=k= 0 den Hauptzweig des Logarithmus, andernfalls einenNebenzweig des Logarithmus.) L¨osung: Die Exponentialfunktion bildet (0,∞)×(φ+ 2kπ, ψ+ 2(k+ 1)π) offenbar injektiv aufCφ ab.

(b) Die Abbildung ln ist differenzierbar und f¨ur allez=x+iy∈Cφ gilt ln⁰(z) = 1

x²+y²

x y

−y x

L¨osung: Die Ableitung der Exponentialfunktion verschwindet nirgends, nach dem Umkehrsatz ist deswegen ln differenzierbar mit

ln⁰(exp(ω)) = exp⁰(ω)⁻¹ = exp(ω)⁻¹

f¨ur alle ω ∈ (0,∞)×(φ+ 2kπ, ψ+ 2(k+ 1)π). Hierbei wirkt Multiplikation mit z=x+iyauf C=R² wie

x −y

y x

und z⁻¹ wirkt dann wie die inverse Matrix, die gerade die oben angegebene ist.

(c) Die Abbildung ln besitzt keine stetige Fortsetzung zu einer AbbildungL:C→C, d.h. es gibt keine stetige Abbildung L:C→CmitL|_Cφ= ln.

L¨osung: Die Folgen z^± = (z_n^±)_n mit z_n^± := e^i(φ±1/n) konvergieren gegen z, aber ln(z⁺_n) = 1 +i(φ+ 1/n+ 2kπ) konvergiert gegen 1 +i(φ+ 2kπ) und ln(z⁻_n) = 1 +i(φ−1/n+ 2(k+ 1)π) konvergiert gegen 1 +i(φ+ 2(k+ 1))π).

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