Fall: pϕq∈C∗: Dann folgt Φ

Lehr- und Forschungsgebiet

Mathematische Grundlagen der Informatik RWTH Aachen

Prof. Dr. E. Grädel, F. Reinhardt

WS 2014/15

Musterlösung 8.Übung Mathematische Logik II

Lösung zu Aufgabe 4

Da Φ konsistent ist, gilt Φ⁺∩Φ⁻=∅. Angenommen Φ⁺ und Φ⁻ sind rekursiv trennbar, dann gibt es also eine rekursive MengeC ⊆FO mit Φ⁺⊆Cund Φ⁻∩C=∅. Dann ist auch die Menge der Gödelnummern C^∗ ={pϕq|ϕ∈C} rekursiv. Da Φ repräsentativ ist, gibt es für jede Zahl neinen Term t_n (den wir im Folgenden auch einfach mit nbezeichnen) über der Signatur von Φ und eine FormelψC^∗(x), die C^∗ repräsentiert, d.h. für alle n∈N giltn∈C^∗⇒Φ|=ψC^∗(n) und n /∈C^∗ ⇒Φ|=¬ψ_C^∗(n). Aus dem Fixpunktsatz angewandt auf die Formel ¬ψ_C^∗(x), folgt die Existenz eines Satzes ϕmit

Φ|=ϕ↔ ¬ψ_C^∗(pϕq) (1)

Es gilt entweder pϕq∈C^∗ oder pϕq∈/C^∗.

1. Fall: pϕq∈C^∗: Dann folgt Φ |= ψ_C^∗(pϕq) und somit aus (1) Φ |= ¬ϕ ⇒ ϕ ∈ Φ⁻ ⇒ ϕ /∈ C⇒pϕq∈/C^∗, was ein Widerspruch ist.

2. Fall: pϕq∈/ C^∗: Dann folgt Φ |= ¬ψ_C^∗(pϕq) und somit aus (1) Φ |= ϕ ⇒ ϕ ∈ Φ⁺ ⇒ ϕ ∈ C⇒pϕq∈C^∗ was ein Widerspruch ist.

Da beide Fälle zum Widerspruch führen, kann es also eine solche Menge C nicht geben, d.h.

Φ⁺ und Φ⁻ sind rekursiv untrennbar.

http://logic.rwth-aachen.de/Teaching/MaLo2-WS14