Antwort zur Frage 221:
Wie ist ein Vektorraum definiert?
Definition: Eine nicht leere Menge V nennt man einen Vektorraum und ihre Elemente Vektoren, wenn
1. es eine “Addition” gibt, die Elementen~a, ~b∈V jeweils genau ein Element~a+~b∈Vzuordnet, und hierbei gilt:
1.1 Es gibt ein “Nullelement”~o∈V mit~a+~o=~af¨ur alle~a∈V.
1.2 Zu jedem~a ∈ V gibt es ein “Gegenelement”
−~a∈Vmit~a+ (−~a) =~o. 1.3 F¨ur alle~a, ~b, ~c∈Vgilt:
~
a+ (~b+~c) = (~a+~b) +~c (Assoziativgesetz) 1.4 F¨ur alle~a, ~b∈V gilt:
~
a+~b=~b+~a (Kommutativgesetz) 2. es eine “Multiplikation” gibt, die jeweils einer
reellen Zahlrund einem Element~a∈Vgenau ein Elementr·~a∈Vzuordnet und hierbei gilt:
2.1 F¨ur aller∈ R, ~a, ~b∈Vgilt: r·(~a+~b) = r·~a+r·~bund f¨ur aller,s∈ R, ~a∈V gilt:
(r+s)·~a=r·~a+s·~a (Distributivgesetze) 2.2 F¨ur aller,s∈ R, ~a∈V gilt:
r·(s·~a) = (r· · ·)·~a (Assoziativgesetz) 2.3 F¨ur alle~a∈Vgilt: 1·~a=~a
