Die Folge der Fibonacchi-Zahlen (fn) ist rekursiv definiert durch f0 = 0, f1 = 1 und fn+2 =fn+1+fn f¨ur alle n∈N

Wend Werner Thomas Timmermann

Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker 1 Blatt 10

Abgabe bis Do, 08.01., 13 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-4 zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 1. (a) Seiα∈R. Bestimmen Sie die Taylorreihe der Funktionf(x) = (1 +x)^α f¨ur einen beliebigen Entwicklungspunkt x0 >−1 sowie deren Kon- vergenzgebiet. Welche Identit¨at erh¨alt man im Fall α∈N?

(b) Bestimmen Sie die Taylor-Reihe der Funktion g(x) = x

1−(1−x)²,

in x0 = 1, indem Sie die geometrische Reihe f¨ur (1−x)² und das Cauchy- Produkt verwenden. Warum erh¨alt man f¨urg eine geometrische Reihe?

Aufgabe 2. Die Folge der Fibonacchi-Zahlen (f_n) ist rekursiv definiert durch f0 = 0, f1 = 1 und fn+2 =fn+1+fn f¨ur alle n∈N.

(a) Zeigen Sie, dass der Konvergenzradius der erzeugenden Funktion Φ(x) = P∞

n=0f_nxⁿ gr¨oßer oder gleich 1/2 ist.

(b) Zeigen Sie, dassx+xΦ(x) +x²Φ(x) = Φ(x) f¨ur alle x∈ −¹₂,¹₂

, und finden Sie reelle Zahlen x1, x2, α1, α2 so, dass f¨ur alle x∈ −¹₂,¹₂

gilt:

Φ(x) = x

1−x−x² = α₁

x₁−x+ α₂ x₂−x.

(c) (2 Zusatzpunkte) Schreiben Sie die rechte Seite als Potenzreihe in x und folgern Sie mit einem Koeffizientenvergleich, dass

f_n = ^√1

5

h1+√ 5 2

n

−

1−√ 5 2

ni

f¨ur allen ∈N. (Hinweis: Benutzen Sie u.a. x₁x₂ =−1.)

Aufgabe 3. Wir betrachten die Folge (gn)n∈N der Funktionen g_n: [−1,1]→R, x7→ x

1 +nx². Zeigen Sie:

(a) Aus einer Extremwertbetrachtung folgt kg_nk= sup

−1≤x≤1

x 1 +nx²

= 1

2√ n und (g_n)_n konvergiert gleichm¨aßig gegen die Nullfunktion.

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Wend Werner Thomas Timmermann

(b) F¨ur den punktweise gebildete Limes der Ableitungen gilt

n→∞lim g_n⁰(x) =

(1, x= 0, 0, sonst.

(c) Die Folge (g⁰_n)n∈N konvergiert nicht gleichm¨aßig.

Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass f¨ur alle φ∈R\2πZ und n ∈N gilt:

n

X

k=0

cos(kφ) = sin (n+ 1)^φ₂

sin^φ₂ cos n^φ₂ ,

n

X

k=0

sin(kφ) = sin (n+ 1)^φ₂

sin^φ₂ sin n^φ₂ .

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