Wend Werner Thomas Timmermann
Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker 1 Blatt 3
Abgabe bis Do, 06.11., 13 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-4 zur selbst¨andigen Bearbeitung
Aufgabe 1. (a) Seien (an)n, (bn)n und (cn)n Folgen rationaler Zahlen mit fol- genden Eigenschaften:
• an ≤bn ≤cn f¨ur allen ∈N;
• (an)n und (cn)n konvergieren gegen denselben Grenzwert.
Zeigen Sie, dass dann auch die Folge (bn)n gegen denselben Grenzwert kon- vergiert.
(b) Pr¨ufen Sie die Konvergenz folgender Folgen und bestimmen Sie gegebenen- falls den jeweiligen Grenzwert:
xn= n+ 1
n3+ 5, yn= 2n
2n, zn =√
n+ 1−√ n.
(Hinweis: Erweitern Sie zn mit √
n+ 1 +√ n.)
Aufgabe 2. Wir betrachten Polynome
p(x) =pkxk+pk−1xk−1+· · ·+p1x+p0, q(x) =qlxl+ql−1xl−1+· · ·+q1x+q0
mit k, l ∈ N0 und pk, . . . , p0, ql, . . . , q0 ∈ Q sowie pk, ql 6= 0. Pr¨ufen Sie, ob die Folge (an)n mit
an = p(n) q(n)
f¨ur n → ∞ konvergiert oder divergiert, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
Aufgabe 3. Die Folge (an)n sei rekursiv definiert durch a1 ∈ (0,1) und an+1 = an(2−an) f¨ur allen ≥2. Zeigen Sie:
(a) F¨ur allen ∈N gilt 0< an < an+1 <1.
(b) limnan = 1.
Aufgabe 4. Es bezeichne im Folgenden an (bzw. bn) den halben Umfang des gleichseitigen, dem Einheitskreis umbeschriebenen (im Bild mit den Punkten N und O) bzw. einbeschriebenen 6·2n-Ecks (hier mit den Punkten B und C). Es bezeichne θ = ^(P AC) den Winkel, den die Strecken AP und AC miteinander einschließen.
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Wend Werner Thomas Timmermann
Ziel dieser Aufgabe ist zu zeigen, dass diese Folgen eine Intervallschachtelung f¨ur die Zahl π bilden.
(a) Zeigen Sie, dass
an= 3·2n+1tanθ bn= 3·2n+1sinθ,
f¨ur alle n ∈ N. Daraus durch Anwendung (einer Formelsammlung sowie) passender Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen folgt
a0 = 2√
3, b0 = 3 an+1 = 2anbn
an+bn bn+1 =p an+1bn
an+1−bn+1 = an+1bn
(an+1+bn+1)(an+bn)(an−bn) (b) Begr¨unden Sie geometrisch, dass f¨ur allen ∈N gilt:
an> an+1 > bn+1 > bn.
(c) Zeigen Sie, dass
an+1−bn+1 < 1
3(an−bn) und ([an, bn])n∈
N eine Intervallschachtelung ist.
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