Berechnen Sie die Reihe (d

Wend Werner Thomas Timmermann

Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker 1 Blatt 5

Abgabe bis Do, 20.11., 13 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-4 zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 1. Pr¨ufen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz

(a)

∞

X

n=1

(2n)!n!

(3n)! , (b)

∞

X

n=1

√n 1 +√

n, (c)

∞

X

n=1

(√

n+ 1−√ n)

und begr¨unden Sie Ihre Antwort. Berechnen Sie die Reihe

(d)

∞

X

n=1

1 n(n+ 1).

(Hinweis: Schreiben Sie _n(n+1)¹ als Differenz zweier Br¨uche.)

Aufgabe 2. (Das Leibniz-Kriterium f¨ur alternierende Reihen) Sei (a_n)_n eine monoton fallende Nullfolge und s_N :=

N

X

n=0

(−1)ⁿa_n. Zeigen Sie:

(a) Die Intervalle I_N := [s_2N+1, s_2N] bilden eine Intervallschachtelung.

(b) Die Reihe P∞

n=0(−1)ⁿa_n konvergiert.

(c) Die Reihe P∞ n=1

(−1)ⁿ

n konvergiert.

Aufgabe 3. Pr¨ufen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:

(a)

∞

X

n=0

zⁿ

1 +|z|ⁿ, (b)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

n + 1

n²

, (c)

∞

X

n=1

1

n + (−1)ⁿ n²

.

wobeiz ∈C, und begr¨unden Sie Ihre Antwort.

(Hinweis: Finden Sie f¨ur die Reihe in (c) eine divergente Minorante.)

Aufgabe 4. Seien (a_n)_n und (b_n)_n zwei Folgen reeller Zahlen, so dass C, D >0 und N existieren mitb_n≤Ca_n und a_n≤Db_n f¨ur allen ≥N. Zeigen Sie:

(a) Die Partialsummen s_N := PN

n=1a_n bilden genau dann eine Cauchy-Folge, wenn die Partialsummen t_N := Σ^N_n=1b_n eine Cauchy-Folge bilden.

(b) P∞

n=1a_n konvergiert genau dann, wenn P∞

n=1b_n konvergiert.

(c) Die Reihe P

n n²+4

n⁴−12 konvergiert.

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