Wend Werner Thomas Timmermann
Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker 1 Blatt 7
Abgabe bis Do, 04.12., 13 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-4 zur selbst¨andigen Bearbeitung
Aufgabe 1. Gegeben sind die Funktionen sgn,b·c, f: R→R,
(a) sgn(x) =
−1, x <0, 0, x= 0, 1, x >0,
(b) bxc= max{n ∈N:n ≤x}, (c) f(x) =
(x3−1
x−1, x6= 1, 3, x= 1.
An welchen Stellen sind diese Funktionen jeweils stetig beziehungsweise unstetig?
Begr¨unden Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 2. (a) Pr¨ufen Sie, an welchen Stellen die Dirichlet-Funktion χ: R→ R, definiert durch
χ(x) =
(1, x∈Q, 0, sonst, stetig ist, und begr¨unden Sie Ihre Antwort.
(b) Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage: Das Produkt f ·g zweier bei x0 ∈R unstetiger Funktionenf, g: R→Rist wieder unstetig bei x0. Aufgabe 3. Sei = 1
2014. Bestimme ein δ >0 so, dass f¨ur allex∈R gilt:
|x−1|< δ ⇒
x
x2−x+ 1 −1
< .
Aufgabe 4. Seiena, b∈R mit a < b.
(a) Seien f, g: [a, b] → R stetige Funktionen mit f(a)≥ g(a) und f(b) ≤ g(b).
Zeigen Sie, dass dann f(x) =g(x) f¨ur ein x∈[a, b].
(b) Sei f: [a, b] → [a, b] eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass dann f(x) = x f¨ur einx∈[a, b]. (Hinweis: Solch ein xnennt man einen Fixpunkt von f.)
1
