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Die Norm einer 2π-periodischen quadratintegrierbaren Funktion f l¨ asst sich durch die Fourier-Koeffizienten

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Academic year: 2021

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(1)

Parseval-Identit¨ at

Die Norm einer 2π-periodischen quadratintegrierbaren Funktion f l¨ asst sich durch die Fourier-Koeffizienten

c k = h f , e k i 2π = 1 2π

Z π

−π

f (t)e −ikt dt

ausdr¨ ucken:

k f k 2 2π = 1 2π

π

Z

−π

| f (t) | 2 dt = X

k∈ Z

| c k | 2 .

Entsprechend gilt f¨ ur die Kosinus- und Sinus-Koeffizienten einer reellen Funktion f

k f k 2 2π = a 2 0 4 + 1

2

X

k=1

a k 2 + b 2 k .

Parseval-Identit¨at 1-1

(2)

Beweis:

Konvergenz der Fourier-Reihe:

k f − p n f k 2 2π → 0, n → ∞

= ⇒

k f k 2 2π = lim

n→∞ k p n f k 2 2π = lim

n→∞

* X

|k|≤n

c k e k , X

|j |≤n

c j e j +

= lim

n→∞

X

|k|≤n

| c k | 2 da h e k , e j i 2π = δ k,j

Analoge Argumentation im reellen Fall aufgrund der Orthogonalit¨ at der Kosinus- und Sinusfunktionen und der Normierung

1 2π

π

Z

−π

cos 2 (kx) dx = 1 2π

π

Z

−π

sin 2 (kx) dx = 1 2

Parseval-Identit¨at 2-1

(3)

Beispiel:

f (x) = x, x ∈ [ − π, π) , f (x + 2π) = f (x) Fourier-Reihe

f (x) ∼ X

k6=0

i( − 1) k k

| {z }

=c

k

e ikx

0 x

− π π

π

Parseval-Identit¨at 3-1

(4)

Norm

k f k 2 2π = 1 2π

π

Z

−π

x 2 dx = π 2 3 Parseval-Identit¨ at = ⇒

k f k 2 2π = X

k∈ Z

| c k | 2 = X

k6=0

i ( − 1) k k

2

= 2

X

k=1

1 k 2 Identit¨ at

π 2 6 =

X

k =1

1 k 2 = 1

1 2 + 1 2 2 + 1

3 2 + · · ·

Parseval-Identit¨at 3-2

Referenzen

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