Parseval-Identit¨ at
Die Norm einer 2π-periodischen quadratintegrierbaren Funktion f l¨ asst sich durch die Fourier-Koeffizienten
c k = h f , e k i 2π = 1 2π
Z π
−π
f (t)e −ikt dt
ausdr¨ ucken:
k f k 2 2π = 1 2π
π
Z
−π
| f (t) | 2 dt = X
k∈ Z
| c k | 2 .
Entsprechend gilt f¨ ur die Kosinus- und Sinus-Koeffizienten einer reellen Funktion f
k f k 2 2π = a 2 0 4 + 1
2
∞
X
k=1
a k 2 + b 2 k .
Parseval-Identit¨at 1-1
Beweis:
Konvergenz der Fourier-Reihe:
k f − p n f k 2 2π → 0, n → ∞
= ⇒
k f k 2 2π = lim
n→∞ k p n f k 2 2π = lim
n→∞
* X
|k|≤n
c k e k , X
|j |≤n
c j e j +
2π
= lim
n→∞
X
|k|≤n
| c k | 2 da h e k , e j i 2π = δ k,j
Analoge Argumentation im reellen Fall aufgrund der Orthogonalit¨ at der Kosinus- und Sinusfunktionen und der Normierung
1 2π
π
Z
−π
cos 2 (kx) dx = 1 2π
π
Z
−π
sin 2 (kx) dx = 1 2
Parseval-Identit¨at 2-1
Beispiel:
f (x) = x, x ∈ [ − π, π) , f (x + 2π) = f (x) Fourier-Reihe
f (x) ∼ X
k6=0
i( − 1) k k
| {z }
=c
ke ikx
0 x
− π π
π
Parseval-Identit¨at 3-1
Norm
k f k 2 2π = 1 2π
π
Z
−π
x 2 dx = π 2 3 Parseval-Identit¨ at = ⇒
k f k 2 2π = X
k∈ Z
| c k | 2 = X
k6=0
i ( − 1) k k
2
= 2
∞
X
k=1
1 k 2 Identit¨ at
π 2 6 =
∞
X
k =1
1 k 2 = 1
1 2 + 1 2 2 + 1
3 2 + · · ·
Parseval-Identit¨at 3-2