Prof. Dr. W. Bergweiler Sommersemester 2014 Analysis IV
Serie 9
1. Entwickeln Sie die Funktion
f :C\{−2,−1,2} →C, f(z) = 4z−z2 (z2−4)(z+ 1) im Kreisring A(0,1,2) ={z ∈C: 1<|z|<2} in eine Laurentreihe.
2. Sei n∈N und seien f1, f2, f3 :D(0,1)\{0} definiert durch
f1(z) = sinz
zn , f2(z) = 1
tan2z f3(z) =znsin
1
z
.
Klassifizieren Sie die isolierten Singularit¨aten dieser Funktionen im Nullpunkt und geben Sie jeweils den Hauptteil der Laurententwicklung in D(0,1)\{0}an.
3. Sei G ⊆C Gebiet, z0 ∈G und f: G\{z0} →C holomorph, also z0 isolierte Singularit¨at von f. Es sei Ref beschr¨ankt in G\{z0}. Zeigen Sie, dass z0 hebbare Singularit¨at von f ist.
4. SeiG⊆Ceinfach zusammenh¨angendes Gebiet,Sdiskrete Teilmenge vonGundf:G\S → C holomorph. Zeigen Sie, dassf genau dann eine Stammfunktion hat, wenn res(f, s) = 0 f¨ur allez ∈S.
Die L¨osungen sind bis Dienstag, den 24.06.2014, 10:00 Uhr, im Fach des jeweiligen ¨Ubungsleiters abzugeben.
