Der Raum der 2π-periodischen Funktionen f : R → C mit Z

(1)

Fourieranalysis

Das Handout ist Bestandteil der Vortragsfolien zur Höheren Mathematik; siehe die Hinweise auf der Internetseite www.imng.uni-stuttgart.de/LstNumGeoMod/VHM/für Erläuterungen zur Nutzung und zum Copyright.

Fourieranalysis 1-1

Periodische, quadratintegrierbare Funktionen

Der Raum der 2π-periodischen Funktionen f : R → C mit Z

π

−π

| f (x) |

²

dx < ∞

und der durch das Skalarprodukt h f , g i

2π

= 1

2π Z

π

−π

f (x)g (x ) dx

induzierten Norm k · k

2π

wird mit L

²_2π

bezeichnet.

Fourier-Reihen 1-1

Alternativ kann der Raum der 2π-periodischen quadratintegrierbaren Funktionen auch als Abschluss der glatten Funktionen definiert werden, d.h. jede Funktion f ∈ L

²_2π

l¨ asst sich durch eine Folge unendlich oft differenzierbarer Funktionen f

_n

approximieren:

k f − f

_n

k

2π

→ 0, n → ∞ .

Fourier-Reihen 1-2

Orthogonalit¨ at von Kosinus und Sinus

Die Funktionen

1 , cos(kx ) , sin(kx ) , k > 0 ,

bilden ein Orthogonalsystem im Raum der quadratintegrierbaren 2π-periodischen Funktionen:

Z

π

−π

cos(jx) cos(kx ) dx = Z

π

−π

cos(jx) sin(`x ) dx = Z

π

−π

sin(jx ) sin(kx ) dx = 0 f¨ ur j 6 = k und

Z

π

−π

cos

²

(kx ) dx = Z

π

−π

sin

²

(kx ) dx = π f¨ ur k > 0.

Fourier-Reihen 1-1

(2)

Beweis:

(i) Orthogonalit¨ at von Kosinus-Funktionen:

Additionstheorem, 1

2 (cos ((j − k) x ) + cos ((j + k) x )) = cos(jx) cos(kx ), j 6 = k

= ⇒ Z

π

−π

cos(jx) cos(kx ) dx = 1 2



 Z

π

−π

cos((j − k)x ) dx + Z

π

−π

cos((j + k )x ) dx





Stammfunktionen R c sin(. . .) verschwinden bei ± π . . . = 0

(ii) Orthogonalit¨ at von Kosinus und Sinus:

Z

π

−π

cos(jx) sin(`x ) dx = 0 ,

da Integral einer ungeraden Funktion ¨ uber symmetrisches Intervall

Fourier-Reihen 2-1

(iii) Orthogonalit¨ at von Sinus-Funktionen:

partielle Integration = ⇒ Z

π

−π

sin(jx ) sin(kx ) dx = j k

Z

π

−π

cos(jx ) cos(kx ) dx null nach (i)

(iv) Normierung von Kosinus und Sinus:

partielle Integration = ⇒ Z

π

−π

sin

²

(kx) dx = Z

π

−π

cos

²

(kx ) dx Summe der Integrale gleich 2π wegen cos

²

+ sin

²

= 1

= ⇒ gemeinsamer Wert π

Fourier-Reihen 2-2

Reelle Fourier-Reihe

Die reelle Fourier-Reihe einer reellen 2π-periodischen Funktion f ist die Entwicklung nach dem Orthogonalsystem der Kosinus- und

Sinusfunktionen:

f (x ) ∼ a

₀

2 +

X

∞ k=1

(a

_k

cos(kx ) + b

_k

sin(kx )) mit

a

_k

= 1 π

Z

π

−π

f (t) cos(kt) dt , k ≥ 0 ,

b

_k

= 1 π

Z

π

−π

f (t) sin(kt) dt , k ≥ 1 .

Fourier-Reihen 3-1

Die Art der Konvergenz der Reihe h¨ angt von der Glattheit von f ab.

Hinreichend f¨ ur absolute Konvergenz ist beispielsweise, dass die Fourier-Koeffizienten a

_k

und b

_k

absolut konvergente Reihen bilden.

Auch eine konvergente Fourier-Reihe muss nicht an allen Stellen den Funktionswert als Grenzwert haben. An Unstetigkeitsstellen konvergiert die Reihe meist gegen den Mittelwert aus rechtsseitigem und linksseitigem Funktionsgrenzwert. Daher wird im Allgemeinen f (x ) ∼ P

· · · statt f (x ) = P

· · · geschrieben.

Fourier-Reihen 3-2

(3)

Beispiel:

reelle Fourier-Reihe der 2π-periodischen Fortsetzung der Funktion

π x

π

−π −^π2 0 2

1

f (x ) =

( 1, x ∈ [ − π, − π/2) ∪ [0, π/2) 0, x ∈ [ − π/2, 0) ∪ [π/2, π) (i) Kosinus-Koeffizienten:

a

₀

= 1 π

Z

π

−π

f (t) dt = 1 π

π 2 + π

2 = 1 k ≥ 1: Kosinus gerade = ⇒

a

_k

= 1 π



 

−π/2

Z

−π

cos(kt) dt + Z

π/2

0

cos(kt) dt



  = 1 π

Z

π

0

cos(kt) dt = 0

Fourier-Reihen 4-1

(ii) Sinus-Koeffizienten:

b

_k

= 1 π



 

−π/2

Z

−π

sin(kt) dt + Z

π/2

0

sin(kt) dt



 

= 1

π − cos(kt) k

−π/2

−π

+

− cos(kt) k

π/2

0

!

= 1

kπ

− 2 cos(k π/2) + ( − 1)

^k

+ 1 k ungerade: b

_k

= 0

k = 4m: b

_4m

= 0

k = 4m + 2: b

_4m+2

= 4/((4m + 2)π) (iii) Fourier-Reihe von f :

1 2 + 4

π X

∞ m=0

sin ((4m + 2)x ) 4m + 2 = 1

2 + 4 π

sin(2x )

2 + sin(6x ) 6 + · · ·

Fourier-Reihen 4-2

Partialsummen

1 2 + 4

π X

n m=0

sin ((4m + 2)x ) 4m + 2 f¨ ur n = 2 und n = 8

x π

π

−π −^π2 0 2

1

f unstetig langsame Konvergenz

Gibbsches Ph¨ anomen: ¨ Uberschwingungen in der N¨ ahe der Sprungstellen

Fourier-Reihen 4-3

Fourier-Reihen von geraden und ungeraden Funktionen

Die Fourier-Reihe einer geraden 2π-periodischen Funktion f ist eine reine Kosinus-Reihe:

f (x ) ∼ a

₀

2 +

X

∞ k=1

a

_k

cos(kx) mit

a

_k

= 2 π

Z

π

0

f (t) cos(kt) dt, k ≥ 0 .

Entsprechend enth¨ alt die Fourier-Reihe einer ungeraden 2π-periodischen Funktion nur Sinus-Terme:

f (x ) ∼ X

∞ k=1

b

_k

sin(kx )

Fourier-Reihen 1-1

(4)

mit

b

_k

= 2 π

Z

π

0

f (t) sin(kt) dt , k ≥ 1 . Beide Aussagen folgen unmittelbar aus der Definition der Fourier-Koeffizienten, da die entsprechenden Integrale aus Symmetriegr¨ unden null sind bzw. nur ¨ uber eine H¨ alfte des Symmetrieintervalls integriert werden muss.

Fourier-Reihen 1-2

Beispiel:

Fourier-Reihe der 2π-periodischen Fortsetzung der geraden Hutfunktion

π 2π x

−π

−2π 0

π

f (x ) =

( π + x , x ∈ [ − π, 0) π − x , x ∈ [0, π) reine Kosinus-Reihe (b

_k

= 0)

a

₀

= 2 π

Z

π

0

π − t dt = π

Fourier-Reihen 2-1

k ≥ 1 :

a

_k

= 2

π Z

π

0

(π − t) cos(kt) dt

part. Int.

= 2

π

(π − t) sin(kt) k

π

0

+ 2 π

Z

π

0

sin(kt) k dt

= 0 − 2

π

cos(kt) k

²

π

0

= 2

k

²

π

1 − ( − 1)

^k

= ⇒ Koeffizienten mit geradem Index null und a

_2m+1

= 4

(2m + 1)

²

π

Fourier-Reihen 2-2

Fourier-Reihe:

f (x ) = π 2 + 4

π X

∞ m=0

cos((2m + 1)x ) (2m + 1)

²

= π

2 + 4 π

cos(x )

1 + cos(3x ) 9 + · · ·

Spezialfall x = 0: f (0) = π = ⇒

π − π 2

π 4 = π

²

8 = 1 1 + 1

9 + 1 25 + · · · erste drei Partialsummen

π 2π x

−π

−2π 0

π

Fourier-Reihen 2-3

(5)

Beispiel:

Fourier-Reihe der 2π-periodischen Fortsetzung der ungeraden Funktion

π 2π x

−2π −π

1

−1

0

f (x ) =

 

 

 

 



0, x = − π

− 1, x ∈ ( − π, 0) 0, x = 0 1, x ∈ (0, π) reine Sinus-Reihe (a

_k

= 0)

b

_k

= 2 π

Z

π

0

sin(kt) dt = 2 π

− cos(kt) k

π

0

= 2 kπ

1 − ( − 1)

^k

= ⇒ Koeffizienten mit geradem Index null und b

_2m+1

= 4

(2m + 1)π

Fourier-Reihen 3-1

Fourier-Reihe:

f (x ) ∼ 4 π

X

∞ m=0

sin((2m + 1)x ) 2m + 1 = 4

π

sin(x )

1 + sin(3x ) 3 + · · ·

Spezialfall x = π/2: f (π/2) = 1 π

4 = 1 − 1 3 + 1

5 ∓ · · · erste drei Partialsummen

π 2π x

−π

−2π

1

−1 0

Fourier-Reihen 3-2

Fourier-Basis

Die Exponentialfunktionen e

_k

(x ) = e

^ikx

sind im Raum der 2π-periodischen quadratintegrierbaren Funktionen orthonormal:

h e

_j

, e

_k

i

2π

= 1 2π

Z

π

−π

e

_j

(x )e

_k

(x ) dx = δ

_j_,k

f¨ ur j , k ∈ Z .

Fourier-Reihen 1-1

Beweis:

j = k 1 2π

Z

π

−π

e

^ijx

e

^ijx

dx = 1 2π

Z

π

−π

e

^ijx

e

^−ijx

dx = 1 2π

Z

π

−π

1 dx = 1 j 6 = k

1 2π

Z

π

−π

e

^ijx

e

^ikx

dx = 1 2π

Z

π

−π

e

^i(j−k)x

dx = 1 2π

"

e

^i(j−k)x

i(j − k )

#

π

−π

= 0

denn e

^2πi`

= 1 f¨ ur ` ∈ Z = ⇒

e

^i`π

− e

^−i`π

= e

^i`(−π)

e

^i`(2π)

− 1

= 0

Fourier-Reihen 2-1

(6)

Fourier-Reihe

Die komplexe Fourier-Reihe einer 2π-periodischen Funktion f ist die Entwicklung nach dem Orthonormalsystem e

_k

(x) = e

^ikx

:

f (x ) ∼ X

k∈Z

c

_k

e

_k

(x ), c

_k

= h f , e

_k

i

2π

= 1 2π

Z

π

−π

f (t )e

_k

(t) dt .

Die Konvergenz der Reihe h¨ angt von der Glattheit von f bzw. dem Abfallverhalten der Fourier-Koeffizienten c

_k

ab.

Hinreichend f¨ ur gleichm¨ aßige Konvergenz ist P

k

| c

_k

| < ∞ .

Fourier-Reihen 3-1

Beispiel:

Fourier-Reihe der 2π-periodischen Funktion f (x ) = 1

2 − e

^ix

Umformung und Summenformel f¨ ur eine geometrische Reihe f (x ) = 1

2 1

1 − e

^ix

/2 = 1 2

X

∞ k=0

e

^ix

2

k

( | e

^ix

/2 | < 1) Fourier-Reihe:

f (x ) ∼ X

∞ k=0

1 2

^k+1

e

^ikx

Fourier-Reihen 4-1

Zusammenhang komplexer und reeller Fourier-Reihen

Die komplexe Fourier-Reihe

f (x ) = X

k∈Z

c

_k

e

^ikx

l¨ asst sich auch in Sinus-Kosinus-Form darstellen:

f (x ) = a

₀

2 +

X

∞ k=1

(a

_k

cos(kx ) + b

_k

sin(kx)) .

Fourier-Reihen 1-1

F¨ ur die Koeffizienten gelten die Umrechnungsformeln

a

₀

= 2c

₀

, a

_k

= c

_k

+ c

_−k

, b

_k

= i(c

_k

− c

_−k

) bzw.

c

₀

= 1

2 a

₀

, c

_k

= 1

2 (a

_k

− ib

_k

) , c

_−k

= 1

2 (a

_k

+ ib

_k

) f¨ ur k ≥ 1.

Die Fourier-Reihe ist genau dann reell, wenn c

_−k

= c

_k

.

Fourier-Reihen 1-2

(7)

Beweis:

Formel von Euler-Moivre

e

^it

= cos t + i sin t

= ⇒

c

_k

e

^ikx

+ c

_−k

e

^−ikx

= c

_k

cos(kx ) + ic

_k

sin(kx ) +c

_−k

cos( − kx ) + ic

_−k

sin( − kx ) Symmetrie von Kosinus bzw. Antisymmetrie von Sinus = ⇒

a

_k

= c

_k

+ c

_−k

, b

_k

= i(c

_k

− c

_−k

) reelle Koeffizienten ⇔

a

_k

= ¯ a

_k

∧ b

_k

= ¯ b

_k

d.h.

c

_k

+ c

_−k

= ¯ c

_k

+ ¯ c

_−k

∧ c

_k

− c

_−k

= − c ¯

_k

+ ¯ c

_−k

Addition der Gleichungen c

_k

= ¯ c

_−k

Fourier-Reihen 2-1

Beispiel:

reelle und komplexe Fourier-Reihe der Funktion f (x) = sin

⁴

x + cos

³

x

−π 0 π

1

gerade Funktion

f (x ) = (1 − cos

²

x )

²

+ cos

³

x = 1 − 2 cos

²

x + cos

³

x + cos

⁴

x Umwandeln von cos

^`

x in Linearkombinationen von cos(kx)

Fourier-Reihen 3-1

Additionstheoreme

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

= ⇒

cos(2x ) = cos

²

x − sin

²

x = 2 cos

²

x − 1 cos(3x ) = cos x cos(2x ) − sin x sin(2x )

| {z }

=2 sinxcosx

= 4 cos

³

x − 3 cos x cos(4x ) = 2 (cos(2x ))

²

− 1 = 8 cos

⁴

x − 8 cos

²

x + 1

Sukzessives Aufl¨ osen

cos

²

x = 1 2 + 1

2 cos(2x ) cos

³

x = 3

4 cos x + 1

4 cos(3x ) cos

⁴

x = 3

8 + 1

2 cos(2x ) + 1

8 cos(4x )

Fourier-Reihen 3-2

Einsetzen in f f (x ) = 3

8 + 3

4 cos x − 1

2 cos(2x ) + 1

4 cos(3x ) + 1

8 cos(4x ) reelle Fourier-Koeffizienten (b

_k

= 0)

a

₀

= 3

4 , a

₁

= 3

4 , a

₂

= − 1

2 , a

₃

= 1

4 , a

₄

= 1 8 komplexe Fourier-Koeffizienten c

_k

= c

_−k

= a

_k

/2

c

₀

= 3

8 , c

±1

= 3

8 , c

±2

= − 1

4 , c

±3

= 1

8 , c

±4

= 1 16 komplexe Fourier-Reihe

f (x ) = 3 8 + 3

8 e

^ix

+ 3

8 e

^−ix

− 1 4 e

^2ix

− 1

4 e

^−2ix

+ 1 8 e

^3ix

+ 1

8 e

^−3ix

+ 1

16 e

^4ix

+ 1 16 e

^−4ix

alternative Herleitung mit Hilfe der Formeln von Euler-Moivre

cos x = 1

2 e

^ix

+ e

^−ix

, sin x = 1

2i e

^ix

− e

^−ix

Fourier-Reihen 3-3

(8)

Differentiation und Integration von Fourier-Reihen

Eine Fourier-Reihe kann gliedweise integriert und differenziert werden:

Z X

k6=0

c

_k

e

_k

(x ) dx = d

₀

+ X

k6=0

d

_k

e

_k

(x ), d

_k

= (ik)

⁻¹

c

_k

, mit d

₀

∈ R bzw.

d dx

X

k

d

_k

e

_k

(x ) = X

k6=0

c

_k

e

_k

(x ), c

_k

= (ik)d

_k

, mit e

_k

(x ) = e

^ikx

.

Dabei wird die Konvergenz der auftretenden Reihen vorausgesetzt.

Hinreichend daf¨ ur ist beispielsweise, dass die Betr¨ age der Fourier-Koeffizienten quadratsummierbar sind:

X

k

| c

_k

|

²

< ∞ .

Fourier-Reihen 1-1

Ist das Absolutglied c

₀

der Fourier-Reihe nicht null, so hat die Reihe keine periodische Stammfunktion und die gliedweise Integration liefert keine Fourier-Reihe mehr.

Fourier-Reihen 1-2

Beispiel:

Fourier-Reihe von

f (x ) = | sin x | f gerade reine Kosinus-Reihe, b

_k

= 0 und

a

_k

= 2 π

Z

π

0

sin x cos(kx) dx zweimalige partielle Integration

π 2 a

_k

=

sin x sin(kx ) k

π

0

− Z

π

0

cos x sin(kx ) k dx

= 0 +

cos x cos(kx ) k

²

π

0

+ 1 k

²

Z

π

0

sin x cos(kx ) dx

| {z }

=^π₂ak

Fourier-Reihen 2-1

Aufl¨ osen nach a

_k

a

_k

= − 2(( − 1)

^k

+ 1) π(k

²

− 1) (gilt auch f¨ ur a

₀

)

a

_k

= 0 f¨ ur k ungerade, c

_±k

= a

_k

/2 f (x ) ∼ − 2

π X

k∈Z

1 4k

²

− 1 e

^2ikx

= 2 π − 4

π X

∞ k=1

1 4k

²

− 1 cos(2kx)

0 x

−π π

1

Fourier-Reihen 2-2

(9)

Fouier-Reihe der Ableitung

f

⁰

(x ) = sign(sin x ) cos x gliedweise Differentiation

f

⁰

(x ) ∼ − 2 π

X

k6=0

2ik

4k

²

− 1 e

^2ikx

= 4 π

X

∞ k=1

2k

4k

²

− 1 sin(2kx )

x

−π 0 π

1

Fourier-Reihen 2-3

Beispiel:

Fourier-Reihe der 2π-periodischen Fortsetzung der Funktion f (x ) = x , x ∈ [ − π, π)

x

−π 0 π

π

Fourier-Reihen 3-1

f ungerade reine Sinus-Reihe, a

_k

= 0 und b

_k

= 2

π Z

π

0

x sin(kx ) dx partielle Integration

b

_k

= 2 π

− x cos(kx ) k

π

0

+ 2 π

Z

π

0

cos(kx )

k dx

= − 2 ( − 1)

^k

k + 2

π

sin(kx ) k

²

π

| {z

0

}

=0

c

_±k

= ∓ ib

_k

/2

f (x ) ∼ i X

k6=0

( − 1)

^k

k e

^ikx

= − 2 X

∞ k=1

( − 1)

^k

k sin(kx )

Fourier-Reihen 3-2

2π-periodische Fortsetzung der Stammfunktion F (x ) = x

²

/2, x ∈ [ − π, π) gliedweise Integration, d

₀

=

_2π¹

R

π

−π

F = π

²

/6 Fourier-Reihe F (x ) ∼ d

₀

+ X

k6=0

( − 1)

^k

k

²

e

^ikx

= π

²

6 + 2

X

∞ k=1

( − 1)

^k

k

²

cos(kx ) Einsetzen von x = π

X

∞ k=1

1 k

²

= (F (π) − d

₀

)/2 = π

²

/6

0 x

−π π

π²/2

Fourier-Reihen 3-3

(10)

Skalierung von Fourier-Reihen

Die Fourier-Reihe einer h-periodischen Funktion f erh¨ alt man durch lineare Transformation auf das Intervall [ − π, π].

Alternativ lassen sich die Fourier-Koeffizienten auch direkt berechnen:

f (x ) ∼ X

k∈Z

c

_k

e

^2πikx/h

mit

c

_k

= 1 h

Z

h

0

f (t)e

^−2πikt/h

dt .

Fourier-Reihen 1-1

Entsprechend erh¨ alt man f¨ ur eine reelle Fourier-Reihe f (x ) ∼ a

₀

2 + X

∞ k=1

a

_k

cos(2πkx /h) + b

_k

sin(2πkx /h) die Koeffizienten

a

_k

= 2 h

Z

h

0

f (t) cos(2πkt/h) dt, k ≥ 0 ,

b

_k

= 2 h

Z

h

0

f (t) sin(2πkt/h) dt, k ≥ 1 .

Fourier-Reihen 1-2

Beispiel:

reelle Fourier-Reihe der h-periodischen Fortsetzung der Funktion f (x ) =

( 1, x ∈ [0, a) 0, x ∈ [a, h) mit 0 < a < h

Kosinus-Koeffizienten:

a

₀

= 2 h

Z

a

0

dt = 2a h k ≥ 1

a

_k

= 2 h

Z

a

0

cos(2πkt/h) dt = 2 h

h sin(2πkt/h) 2πk

a

0

= sin(2πka/h) πk

Fourier-Reihen 2-1

Sinus-Koeffizienten:

b

_k

= 2 h

Z

a

0

sin(2πkt/h) dt = 2 h

− h cos(2πkt/h) 2πk

a

0

= 1 − cos(2πka/h) πk

Fourier-Reihe f (x ) ∼ a

h + X

∞ k=1

sin(2πka/h)

πk cos(2πkx /h) + 1 − cos(2πka/h)

πk sin(2πkx /h)

Fourier-Reihen 2-2

(11)

Fourier-Projektion

Die Fourier-Projektion einer quadratintegrierbaren Funktion f , p

_n

f = X

|k|≤n

c

_k

e

_k

, c

_k

= h f , e

_k

i

2π

= 1 2π

Z

π

−π

f (t)e

^−ikt

dt ,

ist die beste Approximation zu f in der durch das Skalarprodukt h· , ·i

2π

induzierten Norm k · k

2π

, d.h.

k f − p

_n

f k

2π

= min

q= P

|k|≤n

dkek

k f − q k

2π

.

Dar¨ uber hinaus gilt k p

_n

f k

2π

≤ k f k

2π

.

Konvergenz 1-1

Beweis:

(i) Orthogonalit¨ at:

h f − p

_n

f , e

_j

i

2π

= 0, | j | ≤ n

unmittelbare Folge der Orthogonalit¨ at der Basis-Funktionen:

h p

_n

f , e

_j

i

2π

= X

|k|≤n

c

_k

h e

_k

, e

_j

i

2π

= X

|k|≤n

c

_k

δ

_k,j

= c

_j

, | j | ≤ n Subtraktion von h f , e

_j

i = c

_j

= ⇒ Behauptung

Konvergenz 2-1

(ii) beste Approximation:

Fehler einer anderen Approximation q = P

|k|≤n

d

_k

e

_k

k f − q k

²2π

= k f − p

_n

f + p

_n

f − q k

²2π

= k f − p

_n

f k

²2π

+ h f − p

_n

f , r i

2π

+ + h r, f − p

_n

f i

2π

+ k r k

²2π

mit r = p

_n

f − q

r Linearkombination von e

_j

, | j | ≤ n = ⇒

h f − p

_n

f , r i = 0 = h r, f − p

_n

f i und

k f − q k

²2π

= k f − p

_n

f k

²2π

+ k p

_n

f − q k

²2π

Konvergenz 2-2

(iii) Normabsch¨ atzung:

f − p

_n

f ⊥ p

_n

f , Satz des Pythagoras = ⇒

k f k

²2π

= k f − p

_n

f k

²2π

+ k p

_n

f k

²2π

, d.h. k p

_n

f k

2π

≤ k f k

2π

Konvergenz 2-3

(12)

Dirichlet-Kern

Die Fourier-Projektion p

_n

f = X

|k|≤n

h f , e

_k

i

2π

e

_k

, e

_k

(x ) = e

^ikx

, besitzt die Integraldarstellung

(p

_n

f )(x ) = 1 2π

Z

π

−π

q

_n

(x − t) f (t) dt , mit

q

_n

(ξ) = sin ((n + 1/2)ξ) sin (ξ/2) ,

d.h. p

_n

f l¨ asst sich als Faltung des sogenannten Dirichlet-Kerns q

_n

mit der Funktion f darstellen.

Konvergenz 3-1

Beweis:

Definition des Skalarproduktes und der Projektion p

_n

f (x ) = X

|k|≤n

1 2π

Z

π

−π

f (t)e

^−ikt

dt e

^ikx

= 1 2π

Z

π

−π

X

|k|≤n

e

^ik(x−t)

| {z }

qn(x−t)

f (t ) dt

setze ξ = x − t und benutze

u

^m

+ u

^m+1

+ · · · + u

ⁿ

= u

ⁿ⁺¹

− u

^m

u − 1 , u 6 = 1 q

_n

(ξ) = e

^i(n+1)ξ

− e

^−inξ

e

^iξ

− 1 = e

^i(n+1/2)ξ

− e

^{−i(n+1/2)ξ}

e

^iξ/2

− e

^−iξ/2

Formel von Euler-Moivre, sin t = (e

^it

− e

^−it

)/(2i)

q

_n

(ξ) = sin ((n + 1/2)ξ) sin(ξ/2)

Konvergenz 4-1

Konvergenz im Mittel bei Fourier-Reihen

F¨ ur eine quadratintegrierbare Funktion f konvergiert die Fourier-Reihe X

k∈Z

c

_k

e

_k

, e

_k

(x ) = e

^ikx

, c

_k

= h f , e

_k

i

2π

= 1 2π

Z

π

−π

f (t)e

^−ikt

dt , in der Norm k · k

2π

, d.h. f¨ ur die Partialsummen gilt

k f − p

_n

f k

²2π

= 1 2π

Z

π

−π

| f (x ) − (p

_n

f )(x ) |

²

dx → 0

f¨ ur n → ∞ .

Konvergenz Konvergenz im Mittel von Fourier-Reihen 5-1

Beweis:

(i) Analyse der Konvergenz f¨ ur glatte 2π-periodische Funktionen g : Darstellung der Fourier-Projektion mit dem Dirichlet-Kern:

(p

_n

g)(x ) = 1 2π

Z

π

−π

q

_n

(x − t)g (t) dt, q

_n

(ξ) = sin ((n + 1/2)ξ) sin(ξ/2) ξ = x − t, R

π

−π

q

_n

= R

π

−π

1 + P

1≤|k|≤n

e

^ikξ

d ξ = 2π

g (x ) − (p

_n

g )(x ) = 1 2π

Z

π

−π

sin((n + 1/2)ξ) g (x) − g(x − ξ) sin(ξ/2)

| {z }

=h(x,ξ)

d ξ

g zweimal stetig differenzierbar

^l’Hospital

−→ h mindestens einmal stetig differenzierbar

(13)

| g(x ) − (p

_n

g )(x ) |

=

part. Int.

− cos((n + 1/2)ξ) 2π(n + 1/2) h(x , ξ)

π

−π

+ 1 2π

Z

π

−π

cos((n + 1/2)ξ)

n + 1/2 h

_ξ

(x , ξ) d ξ

≤ 1 πn max

x,ξ

| h(x , ξ) | + 1 n max

x,ξ

| h

_ξ

(x , ξ) |

→ 0 f¨ ur n → ∞

(ii) Konvergenz f¨ ur beliebiges periodisches quadratintegrierbares f :

∀ f ∃ Folge glatter approximierender periodischer Funktionen g

_m

, d.h.

k f − g

_m

k

2π

→ 0, m → ∞ Dreiecksungleichung Fehlerabsch¨ atzung

k f − p

_n

f k

2π

= k (f − g

_m

) + (g

_m

− p

_n

g

_m

) + (p

_n

(g

_m

− f )) k

2π

≤ k f − g

_m

k

2π

+ k g

_m

− p

_n

g

_m

k

2π

+ k p

_n

(g

_m

− f ) k

2π

w¨ ahle, f¨ ur gegebenes ε > 0, m so, dass k f − g

_m

k

2π

≤ ε/3 Beschr¨ anktheit der Fourier-Projektion = ⇒

k p

_n

(g

_m

− f ) k

2π

≤ k g

_m

− f k

2π

≤ ε/3

Konvergenz der Fourier-Projektion f¨ ur glatte Funktionen = ⇒

∃ n

_ε

: k g

_m

− p

_n

g

_m

k

2π

< ε/3, n > n

_ε

Parseval-Identit¨ at

Die Norm einer 2π-periodischen quadratintegrierbaren Funktion f l¨ asst sich durch die Fourier-Koeffizienten

c

_k

= h f , e

_k

i

2π

= 1 2π

Z

π

−π

f (t)e

^−ikt

dt ausdr¨ ucken:

k f k

²2π

= 1 2π

Z

π

−π

| f (t ) |

²

dt = X

k∈Z

| c

_k

|

²

.

Entsprechend gilt f¨ ur die Kosinus- und Sinus-Koeffizienten einer reellen Funktion f

k f k

²2π

= a

²₀

4 + 1

2 X

∞ k=1

a

²_k

+ b

²_k

.

Konvergenz Parseval-Identit¨at 7-1

Beweis:

Konvergenz der Fourier-Reihe:

k f − p

_n

f k

²2π

→ 0, n → ∞

= ⇒

k f k

²2π

= lim

n→∞

k p

_n

f k

²2π

= lim

n→∞

* X

|k|≤n

c

_k

e

_k

, X

|j|≤n

c

_j

e

_j

+

2π

= lim

n→∞

X

|k|≤n

| c

_k

|

²

da h e

_k

, e

_j

i

2π

= δ

_k,j

Analoge Argumentation im reellen Fall aufgrund der Orthogonalit¨ at der Kosinus- und Sinusfunktionen und der Normierung

1 2π

Z

π

−π

cos

²

(kx ) dx = 1 2π

Z

π

−π

sin

²

(kx ) dx = 1 2

(14)

Beispiel:

f (x ) = x , x ∈ [ − π, π) , f (x + 2π) = f (x ) Fourier-Reihe

f (x ) ∼ X

k6=0

i( − 1)

^k

| {z } k

=ck

e

^ikx

0 x

− π π

π

Norm

k f k

²2π

= 1 2π

Z

π

−π

x

²

dx = π

²

3 Parseval-Identit¨ at = ⇒

k f k

²2π

= X

k∈Z

| c

_k

|

²

= X

k6=0

i ( − 1)

^k

k

2

= 2 X

∞ k=1

1 k

²

Identit¨ at

π

²

6 =

X

∞ k=1

1 k

²

= 1

1

²

+ 1 2

²

+ 1

3

²

+ · · ·

Konvergenzrate der Fourier-Projektion

Der Fehler der Fourier-Projektion l¨ asst sich f¨ ur periodische Funktionen mit quadratintegrierbarer k -ter Ableitung durch

k f − p

_n

f k

2π

≤ (n + 1)

^−k

k f

^(k)

k

2π

absch¨ atzen.

F¨ ur f (x ) = e

^i(n+1)x

ist die Ungleichung scharf.

Konvergenz Konvergenzrate der Fourier-Projektion 10-1

Beweis:

Fourier-Reihe

f (x ) ∼ X

j∈Z

c

_j

e

^ijx

Fourier-Reihe der k-ten Ableitung

f

^(k⁾

(x ) ∼ X

j∈Z

c

_j

(ij)

^k

e

^ijx

Parseval-Identit¨ at

k f

^(k)

k

²2π

= X

j∈Z

| c

_j

|

²

| j |

^2k

= ⇒

k f − p

_n

f k

²2π

= X

|j|>n

| c

_j

|

²

≤ X

j∈Z

| c

_j

|

²

| j |

^2k

(n + 1)

^2k

= (n + 1)

^−2k

k f

^(k)

k

²2π

(15)

Spezialfall g (x ) = e

^i(n+1)x

:

c

_n+1

= 1, c

_j

= 0 f¨ ur j 6 = n + 1, g

^(k)

(x ) = (i(n + 1))

^k

e

^i(n+1)x

Gleichheit in der Fehlerabsch¨ atzung, denn p

_n

g = 0 = ⇒

k g − p

_n

g k

²2π

= k g k

²2π

= k (i(n + 1))

^−k

g

^(k)

k

²2π

= (n + 1)

^−2k

k g

^(k)

k

²2π

Fourier-Matrix

Durch Bilden von Potenzen der Einheitswurzel w

_n

= exp(2πi/n) erh¨ alt man die so genannte Fourier-Matrix

W

_n

=



 

w

_n^0·0

· · · w

_n^0·(n−1)

.. . .. .

w

_n^(n−1)·0

· · · w

(n−1)·(n−1) n



  .

Sie ist nach Normierung (W

_n

→ W

_n

/ √

n) unit¨ ar, d.h. W

_n^∗

W

_n

/n ist die Einheitsmatrix.

Diskrete Fourier-Transformation Diskrete Fourier-Transformation 12-1

Beweis:

(i) Orthogonalit¨ at der Spalten:

komplexes Skalarprodukt der (j + 1)-ten und (k + 1)-ten Spalte X

n−1

`=0

w

_n^`j

w

_n^`k

= X

`

w

_n^(j−k)`

= w

_n^(j−k)n

− 1 w

_n^j^−k

− 1 w

_nⁿ

= 1 = ⇒

X

n−1

`=0

w

_n^`j

w

_n^`k

= 0 (ii) Normierung:

| w

^`k

| = 1 = ⇒ Norm der Spalten gleich √ n

Beispiel:

n = 4, w

_n

= exp(2πi/4) = i

W

₄

=



 



1 1 1 1

1 i − 1 − i 1 − 1 1 − 1 1 − i − 1 i



 



unit¨ ar nach Division durch 2, d.h.

1 2 W

₄^∗

1 2 W

₄

= E Symmetrie der Fourier-Matrix = ⇒

W

₄^∗

= W

₄^t

= W

₄

(16)

Diskrete Fourier-Transformation

Die Multiplikation eines n-Vektors c mit der Fourier-Matrix W

_n

wird als diskrete Fourier-Transformation bezeichnet:

f = W

_n

c ⇔ c = 1 n W

_n^∗

f . Definitionsgem¨ aß ist also

f

_j

= X

n−1 k=0

c

_k

w

_n^jk

, j = 0, . . . , n − 1

⇔

c

_k

= 1 n

n−1

X

j=0

f

_j

w

_n^−kj

, k = 0, . . . , n − 1

mit w

_n

= exp(2πi/n), wobei die Vektoren c und f von 0 bis n − 1 indiziert werden.

Die diskrete Fourier-Transformation entspricht der Auswertung des trigonometrischen Polynoms

p(x ) =

n−1

X

k=0

c

_k

e

^ikx

an den Punkten x

_j

= 2πj /n: f

_j

= p(x

_j

), j = 0, . . . , n − 1.

Die inverse Transformation kann als Riemann-Summe f¨ ur die Fourier-Koeffizienten interpretiert werden:

h f , e

_k

i

2π

= 1 2π

Z

2π

0

f (x )e

^−ikx

dx ≈ 1 n

X

n−1 j=0

f (x

_j

)e

^−ikx^j

mit x

_j

= 2πj /n.

Diese Approximation ist f¨ ur glatte periodische Funktionen und n | k | sehr genau.

Beispiel:

diskrete Fourier-Transformation des Vektors c = (3, − 2, 0, 1)

^t

: Multiplikation mit der Fourier-Matrix

f = W

₄

c =



 



1 1 1 1

1 i − 1 − i 1 − 1 1 − 1 1 − i − 1 i



 





 

 3

− 2 0 1



 

 =



 

 2 3 − 3i

4 3 + 3i



 



inverse Transformation (Multiplikation mit W

^∗

/4):

c = 1

4 W

₄^∗

f = 1 4



 



1 1 1 1

1 − i − 1 i 1 − 1 1 − 1 1 i − 1 − i



 





 

 2 3 − 3i

4 3 + 3i



 

 = 1 4



 

 12

− 8 0 4



 



Schnelle Fourier-Transformation

Die diskrete Fourier-Transformation, f

_j

=

n−1

X

k=0

c

_k

w

_n^jk

, j = 0, . . . , n − 1 ,

(w

_n

= exp(2πi/n)), kann f¨ ur n = 2

^`

mit der sogenannten schnellen Fourier-Transformation (FFT, Fast Fourier Transform) mit

2n`-Operationen berechnet werden.

Diskrete Fourier-Transformation Schnelle Fourier-Transformation 17-1

(17)

In der rekursiven Version hat der Algorithmus die folgende Form:

f = FFT(c) n = length(c)

if n = 1, f = c, return else

g = FFT(c

₀

, c

₂

, . . . , c

_n−2

) , h = FFT(c

₁

, c

₃

, . . . , c

_n−1

) p =

1, w

_n

, w

_n²

, . . . , w

_n^n/2−1

f = (g + p . ∗ h, g − p . ∗ h) end

Dabei bezeichnet . ∗ die komponentenweise Multiplikation von Vektoren, d.h. (a . ∗ b)

_j

= a

_j

b

_j

.

Die inverse diskrete Fourier-Transformation c

_k

= 1

n

n−1

X

j=0

f

_j

w

_n^−jk

kann vollkommen analog berechnet werden. Man bezeichnet den entsprechenden Algorithmus mit c = IFFT(f ).

Beweis:

(i) Induktive Herleitung des Algorithmus:

f

_j

=

n−1

X

k=0

c

_k

w

^kj

=

m−1

X

k=0

c

_2k

w ˜

^kj

+ w

^j

m−1

X

k=0

c

_2k+1

w ˜

^kj

, j = 0, . . . , n − 1 mit m = n/2 und ˜ w = exp(2πi/m) = w

²

Summen entsprechen den im Algorithmus rekursiv berechneten Transformierten g und h der L¨ ange m:

f

_j

= g

_j

+ w

^j

h

_j

, j = 0, . . . , m − 1

˜

w

^m

= 1 und w

^j+m

= w

^j

exp((2πi/n)(n/2)) = − w

^j

= ⇒ f

_j+m

= g

_j

− w

^j

h

_j

, j = 0, . . . , m − 1 ,

d.h. (f

_m

, f

_m+1

, ..., f

n−1

)

^t

ist ebenfalls mit Hilfe von g und h berechenbar

(ii) Anzahl op(n) der Operationen des FFT-Algorithmus:

Addition der zur Berechnung von g , h, p und f ben¨ otigten Operationen

op(n) = op(n/2) + op(n/2) + (n/2) + 3(n/2) = 2 op(n/2) + 2n Iteration der Identit¨ at = ⇒

op(n) = 2 (2 op(n/4) + 2(n/2)) + 2n = 4 op(n/4) + 2n + 2n

= · · ·

= 2

^`

op(1) + 2n + · · · + 2n

| {z }

`-mal

op(1) = 0 Gesamtoperationenzahl 2`n

(18)

Beispiel:

diskrete Fourier-Transformation des Vektors

c =



 

 3

− 2 0 1



 



g = FFT(3, 0):

˜

g = 3

h ˜ = 0

w

₂

= exp(2πi/2) = − 1 , p = (1) g = (3 + 1 · 0, 3 − 1 · 0)

^t

= (3, 3)

^t

h = FFT( − 2, 1):

˜

g = − 2 h ˜ = 1

w

₂

= exp(2πi/2) = − 1 , p = (1)

h = ( − 2 + 1 · 1, − 2 − 1 · 1)

^t

= ( − 1, − 3)

^t

Addition der rekursiv berechneten diskreten Fourier-Transformierten g = (3, 3)

^t

, h = ( − 1, − 3)

^t

w

₄

= (exp(2πi/4) = i , p = (1, i)

^t

f = (g + p. ∗ h, g − p. ∗ h)

= (3 + 1 · ( − 1), 3 + i · ( − 3), 3 − 1 · ( − 1), 3 − i · ( − 3))

^t

= (2, 3 − 3i, 4, 3 + 3i)

^t

Trigonometrische Interpolation

F¨ ur n = 2

^`

k¨ onnen die Koeffzienten des trigonometrischen Polynoms p(x ) = c

_m

cos(mx ) + X

|k|<m

c

_k

e

^ikx

, m = n/2 , das die Daten

f

_j

= f (x

_j

), x

_j

= 2πj /n, j = 0, . . . , n − 1 ,

interpoliert, mit der inversen schnellen Fourier-Transformation berechnet werden:

(c

₀

, . . . , c

_m

, c

−m+1

, . . . , c

−1

) = IFFT(f ) .

Diskrete Fourier-Transformation Trigonometrische Interpolation 20-1

Beweis:

zus¨ atzlicher Kosinus-Term gerade Anzahl der Daten (notwendig f¨ ur die schnelle Fourier-Transformation)

definiere

(c

₀

, . . . , c

_m

, c

_−m+1

, . . . , c

₋₁

) = ˜ c = IFFT(f ) = 1 n W

_n^∗

f mit der Fourier-Matrix W

_n

(Indizierung von ˜ c und f von 0 bis n − 1) W

_n

/ √

n unit¨ ar bzw. Definition der inversen diskreten Fourier-Transformation = ⇒

f = W

_n

c ˜ ⇔ f

_j

= ˜ p(x

_j

) =

n−1

X

k=0

˜ c

_k

e

^ikx^j

, d.h. ˜ p erf¨ ullt die Interpolationsbedingungen

(19)

ersetze Terme bei ˜ p, ohne Verletzung der Interpolationsbedingungen k = m:

e

^imx^j

= ( − 1)

^j

= cos(mx

_j

) , da mx

_j

= (n/2)(2πj /n) = πj und e

^iπ

= − 1 k = m + 1, . . . , n − 1:

˜

c

_k

= c

_k−n

und

e

^ikx^j

= e

^i(k−n)x^j

, da − nx

_j

= − 2πj und e

^2πi

= 1

= ⇒

˜ p(x

_j

) =

m−1

X

k=0

c

_k

e

^ikx^j

+ c

_m

cos(mx

_j

) + X

n−1 k=m+1

c

_k_−n

e

^i(k−n)x^j

| {z }

P−1

k=−m+1ckeⁱ^kxj

Beispiel:

Interpolation der Daten

f = (0.2, − 6, − 0.2, 10, 0.2, − 6, − 0.2, 10)

^t

an den Stellen x

_j

= 2πj /8, j = 0, . . . , 7, durch ein trigonometrisches Polynom

inverse diskrete Fourier-Transformation

˜

c = IFFT(f ) = (1, 0, 0.1 + 4i, 0, − 1, 0, 0.1 − 4i, 0)

^t

Umindizierung (˜ c

_k

= c

_k₋₈

, k = 5, 6, 7)

c = (c

₋₃

, . . . , c

₄

)

^t

= (0, 0.1 − 4i, 0, 1, 0, 0.1 + 4i, 0, − 1)

^t

interpolierendes trigonometrisches Polynom

p(x ) = (0.1 − 4i)e

^−2ix

+ 1 + (0.1 + 4i)e

^2ix

− cos(4x ) Daten f reell = ⇒ p reell

(0.1 − 4i)e

^−2ix

+ (0.1 + 4i)e

^2ix

= 0.2 cos(2x ) − 8 sin(2x )

Fourier-Filter:

Die trigonometrische Interpolation in Verbindung mit der diskreten

Fourier-Transformation kann zum Ausblenden hochfrequenter St¨ orungen in Signalen verwendet werden.

interpoliere die Daten

f

_j

≈ f (x

_j

), x

_j

= 2πj

n , 0 ≤ j < n = 2

^`

, mit einem trigonometrischen Polynom

p(x ) = c

_m

cos(mx ) + X

|k|<m

c

_k

e

^ikx

, m = n/2

Tiefpass mit Bandbreite M:

setze alle Koeffizienten c

_k

mit | k | > M null

Unterdr¨ uckung von St¨ orungen f¨ ur hinreichend kleines M

Sprachsignal f (x ) 500 der 40000 Amplituden | Re(c

_k

) |

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.5 0 0.5 1

0 100 200 300 400 500

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.5 0 0.5 1

0 100 200 300 400 500

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

Gl¨ attungseffekt f¨ ur die Bandbreite M = 400

(20)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.5 0 0.5 1

0 100 200 300 400 500

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

Gl¨ attungseffekt f¨ ur die Bandbreite M = 100 kleine Bandbreite unerw¨ unschter Genauigkeitsverlust

Bei der Implementierung ist zu beachten, dass die inverse diskrete

Fourier-Transformation den permutierten Koeffizientenvektor ˜ c berechnet:

(˜ c

₀

, . . . , c ˜

_n−1

) = (c

₀

, . . . , c

_m

, c

_−m+1

, . . . , c

₋₁

) Programmsegment f¨ ur einen Fourier-Filter:

IFFT: f

_j

→ c ˜

_k

c

_M+1

= ˜ c

_M+1

, . . . , c ˜

_n−1−M

= c

_−M−1

auf null setzen FFT: ˜ c

_k

→ p(x

_j

)

Hochpass:

Nullsetzen der unteren Koeffizienten

Zyklische Gleichungssysteme

Eine zyklische Matrix

A =



 

 

a

₀

a

_n−1

· · · a

₁

a

₁

a

₀

a

₂

.. . .. .

a

_n−1

a

_n−2

· · · a

₀



 

 

besitzt die Eigenwerte λ

_j

=

X

n−1 k=0

a

_k

w

_n^−kj

, w

_n

= exp(2πi/n) ,

und kann durch die Fourier-Matrix, deren Spalten Eigenvektoren von A sind, diagonalisiert werden:

1

n

W

_n^∗

AW

_n

= diag(λ

₁

, . . . , λ

_n

), λ = W

_n^∗

a .

Diskrete Fourier-Transformation Fourier-Transformation zyklischer Gleichungssysteme 24-1

Zyklische Gleichungssystems Ax = b lassen sich somit mit Hilfe der diskreten Fourier-Transformation l¨ osen:

x = W

_n

diag(λ

₁

, . . . , λ

_n

)

⁻¹

(W

_n^∗

b/n) .

F¨ ur n = 2

^`

ist die schnelle Fourier-Transformation anwendbar, und man erh¨ alt den folgenden L¨ osungsalgorithmus:

c = IFFT(b) λ = n IFFT(a)

y

_j

= c

_j

/λ

_j

, j = 0, . . . , n − 1 x = FFT(y ) .

(21)

Beweis:

(i) Eigenwerte und -vektoren:

Eintrag (j + 1, ` + 1) von AW

_n

(AW

_n

)

_j+1,`+1

=

X

n−1 k=0

a

_j_−k _mod_n

w

_n^k`

Substitution k = j − k

⁰

X

j k⁰=j−n+1

a

_k⁰_mod_n

w

_n^(j^−k⁰^)`

. ersetze k

⁰

= j − n + 1, . . . , − 1 durch j + 1, . . . , n − 1

keine ¨ Anderung der Summanden da w

_n^−k⁰

= w

_n^−k⁰⁺ⁿ

n−1

X

k⁰=0

a

_k⁰

w

_n^−k⁰^`

!

w

_n^j`

= λ

_`

w

_n^j`

(` + 1)-ste Spalte des Produkts ist λ

_`

-faches (` + 1)-ten Spalte der Fourier-Matrix, d.h. AW

_n

= W

_n

diag(λ

₁

, . . . , λ

_n

)

(ii) Zyklisches Gleichungssystem:

Multiplikation des Gleichungssystems Ax = b mit W

_n^∗

/n und Setzen von x = W

_n

y

1 n W

_n^∗

AW

_n

| {z }

diag(λ1,...,λn)

y = 1 n W

_n^∗

b

| {z }

c

L¨ osung y

_j

= c

_j

/λ

_j

Beispiel:

zyklisches Gleichungssystem Ax = b mit

A =



 



− 12 − 4 8 4

4 − 12 − 4 8

8 4 − 12 − 4

− 4 8 4 − 12



 

 , b =



 

 12

− 20 0 8



 



n = 4, a = ( − 12, 4, 8, − 4)

^t

c = IFFT(b) = (0, 3 + 7i, 6, 3 − 7i)

^t

λ = 4 IFFT(a) = ( − 4, − 20 − 8i, − 4, − 20 + 8i)

^t

y = c ./ λ =

0, 1

4 − 1 4 i, − 3

2 , 1 4 + 1

4 i

t

x = FFT(y ) = ( − 2, 2, − 1, 1)

^t

Fourier-Transformation

Existiert zu einer Funktion f das Parameterintegral f ˆ (y ) =

Z

∞

−∞

f (x )e

^−iyx

dx

f¨ ur alle y ∈ R , so heißt f Fourier-transformierbar und die Funktion ˆ f Fourier-Transformierte von f .

Man schreibt

f ˆ = F f , bzw. f (x ) 7−→

^F

f ˆ (y ) .

Fourier-Transformation Fourier-Transformation 27-1

(22)

Entsprechend ist die inverse Fourier-Transformation F

⁻¹

durch f ˆ (y )

^F

−1

7−→ f (x ) = 1 2π

Z

∞

−∞

f ˆ (y )e

^iyx

dy ,

definiert und es gilt

f = F

⁻¹

F f

f¨ ur absolut integrierbare, stetig differenzierbare Funktionen f .

Die Fourier-Transformation und die inverse Fourier-Transformation sind linear. Sie unterscheiden sich nur unwesentlich. Es ist

F f ¯ = 2π F

⁻¹

f .

Beweis:

Idee:

Fourier-Transformation als Grenzfall der Fourier-Reihe, d.h. eine kontinuierliche Entwicklung nach Exponentialfunktionen e

_k

(x ) = e

^ikx

Annahme: f = 0 außerhalb von [ − h, h]

Fourier-Reihe f¨ ur x ∈ [ − h, h], Definition der Fourier-Transformation f (x ) =

X

∞ k=−∞



 1 2h

Z

h

−h

f (t)e

_k

(tπ/h) dt



 e

_k

(x π/h)

= 1

2π π h

X

∞ k=−∞

f ˆ (kπ/h)e

^i(kπ/h)x

Riemann-Summe der inversen Fourier-Transformation konvergent bei hinreichend glattem ˆ f f¨ ur ∆y = π/h → 0

Beispiel:

Fourier-Transformation der Impuls-Funktion χ(x ) =

( 1, | x | ≤ 1/2 0, sonst Definition, Formel von Euler-Moivre

ˆ χ(y ) =

Z

1/2

−1/2

e

^−iyx

dx = e

^−iyx

− iy

1/2

−1/2

= e

^−iy/2

− e

^iy^/2

− iy

= sin(y /2)

y /2 = sinc(y /2)

Beispiel:

Fourier-Transformation der Funktion f (x ) = e

^−|x|

Formel von Euler-Moivre = ⇒ e

^−ixy

= cos(xy ) − i sin(xy ) f gerade = ⇒ R

∞

−∞

f (x ) sin(xy ) dx = 0 und f ˆ (y ) = 2

Z

∞

0

e

^−x

cos(yx) dx =

part. Int.

0 + 2 Z

∞

0

e

^−x

sin(yx ) y dx

=

part. Int.

2 e

^−x

− cos(yx) y

²

∞

0

− 2 Z

∞

0

e

^−x

cos(yx) y

²

dx

= 2

y

²

− f ˆ (y ) y

²

Umformung f ˆ (y ) = 2/(1 + y

²

)

(23)

Beispiel:

Die Gauß-Funktion ist eine Eigenfunktion der Fourier-Transformation:

f (x ) = exp( − x

²

/2) ⇔ f ˆ (y ) = √

2π exp( − y

²

/2) . Definition

f ˆ (y ) = exp( − y

²

/2) Z

∞

−∞

exp( − x

²

/2 − iyx + y

²

/2) dx setze

− z

²

/2 = − (x + iy )

²

/2 , dz = dx Verschiebung des Integrationswegs (Komplexe Analysis), z ∈ R + iy → z ∈ R

f ˆ (y ) = f (y ) Z

∞

−∞

exp( − z

²

/2) dz = f (y ) √ 2π

Differentiation bei Fourier-Transformation

Bei der Fourier-Transformation entspricht die Ableitung einer Multiplikation mit der transformierten Variablen und umgekehrt:

f

⁰

(x ) 7−→

^F

iy f ˆ (y ) xf (x ) 7−→

^F

i f ˆ

⁰

(y ) .

Fourier-Transformation Differentiation bei Fourier-Transformation 32-1

Beweis:

betrachte hinreichend schnell abfallende Funktionen keine Randterme bei partieller Integration (i) Differentiation von f :

f c

⁰

(y ) = Z

∞

−∞

f

⁰

(x )e

^−iyx

dx =

part. Int.

0 − Z

∞

−∞

f (x ) d dx e

^−iyx

| {z }

−iye^−iyx

dx = iy f ˆ (y )

(ii) Differentiation von ˆ f : i ˆ f

⁰

(y ) = i

Z

∞

−∞

f (x ) d

dy e

^−iyx

dx = i Z

∞

−∞

f (x )( − ix)e

^−iyx

dx = ˆ g (y ) mit g (x ) = xf (x )

Abschw¨ achung der Voraussetzungen mit Hilfsmitteln der Funktionalanalysis

Beispiel:

Fourier-Transformation der Gauß-Funktion f (x ) = e

^−x²^/2

, f ˆ (y ) = √

2π e

^−y²^/2

f

⁰

(x ) = − x e

^−x²^/2

= − xf (x ) Transformationsregeln = ⇒

f

⁰

(x ) 7−→

^F

iy f ˆ (y )

− xf (x ) 7−→

^F

− i ˆ f

⁰

(y ) identisches Resultat:

− i ˆ f

⁰

(y ) = − i √

2π( − y ) e

^−y²^/2

= iy f ˆ (y ) mehrfache Anwendung der Transformationsregeln

Fourier-Transformation von Funktionen der Form p(x ) exp( − x

²

/2) mit beliebigen Polynomen p