Vektorraum
Ein Vektorraum ¨uber einem K¨orperK (K-Vektorraum) ist eine
kommutative Gruppe (V,+), auf der zus¨atzlich zu der Gruppenoperation
”+“ eine Skalarmultiplikation
”·“ definiert ist, K ×V 3(s,v)7→s·v ∈K, die folgende Eigenschaften besitzt:
(s1+s2)·v = s1·v+s2·v s·(v1+v2) = s·v1+s·v2
(s1·s2)·v = s1·(s2·v) 1·v = v
f¨ur alle Skalares,s1,s2 ∈K, Elementev,v1,v2 ∈V und das Einselement 1∈K.
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Der Einfachheit halber wird das Pluszeichen sowohl f¨ur die Addition inV als auch f¨ur die Addition inK verwendet. Ebenso wird der Malpunkt f¨ur die Skalarmultiplikation meist weggelassen.
F¨urK =R bzw.K =C spricht man von einem reellen bzw. komplexen Vektorraum.
Beispiel
Reeller (komplexer) Vektorraum der Polynome p vom Grad ≤n p(x) =a0+a1x+· · ·+anxn, ak ∈R (ak ∈C)
Definition der Addition und Skalarmultiplikation in der nahe liegenden Weise:
(p+q)(x) =p(x) +q(x), (sp)(x) =sp(x)
Polynome mit Grad n (an6= 0) bilden auf Grund eventueller Gradreduktion bei Addition keinen Vektorraum,
z.B.
(x2−1
| {z }
Grad 2
) + (3−x2
| {z }
Grad 2
) = 2
|{z}
Grad 0
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Beispiel
Reeller Vektorraum der Folgen (an),an∈R Addition: (an) + (bn) = (an+bn) Skalarmultiplikation: s(an) = (san) Vektorr¨aume spezieller Folgen:
beschr¨ankte Folgen, konvergente Folen, konvergente Folen, komplexe Folgen
Monotone Folgen bilden keinen Vektorraum, denn Summen monotoner Folgen sind nicht notwendig monoton; z.B.
(n2) + (−2n) : −1,0,1,0,−7,−28, . . . .
Vektorraum der n-Tupel
F¨ur einen K¨orperK bilden dien-Tupel oder n-Vektoren
a=
a1
... an
, ak ∈K
den K-Vektorraum Kn mit der komponentenweise definierten Addition und Skalarmultiplikation, d.h.
a1
... an
+
b1
... bn
=
a1+b1
... an+bn
, s·
a1
... an
=
s·a1
... s·an
f¨ur ak,bk,s ∈K.
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Oft schreibt man n-Tupel als Zeilenvektor
at= (a1, . . . ,an) bzw. a= (a1, . . . ,an)t. Durch das Symbol
”t“ der Transposition wird von der Standardkonvention als Spaltenvektor unterschieden.
F¨urK =R bzw.K =C erh¨alt man die Vektorr¨aume dern-Tupel reeller und komplexer Zahlen Rn undCn.
