Taylorreihen
B Um wurzelfreie N¨aherungen f¨ur die Werte √13 und √15 berechnen zu k¨onnen, soll die Funktiony= √1x im Entwicklungspunktx= 4 in eine Taylorreihe entwickelt und damit Formeln f¨ur die gesuchten N¨aherungen angegeben werden.
Funktionieren diese Formeln auch noch f¨ur √1
2 bzw. √1 7 ? 1. Da die Angabe einer
”allgemeinen“ Formel durch Ableiten eher schwierig ist, empfiehlt sich die Ver- wendung einer
”bekannten“ Reihe:
√ 1
1 +x = (1 +x)−1/2= X∞ k=0
−1/2 k
xk mitx0= 0.
2. Da weder die Funktion selbst noch der Entwicklungspunkt direkt ¨ubereinstimmen, ist zun¨achst etwas
”Handarbeit“ erforderlich:
f(x) mitx0= 4 x⇐⇒=z+4 f(z+ 4) mitz0= 0
√1
x= 1
√z+ 4 = 1
√4 +z = 1 2p
1 +z4
3. F¨ur den rechten Term ist die Formel der Binomialreihe (1.) bereits anwendbar:
1 2 · 1
p1 +z4 = 1 2
X∞ k=0
−1/2 k
z 4
k
Mit
−1/2 0
= 1 und
−1/2 k
=−1/2 1 ·−3/2
2 ·−5/2
3 ·. . .·1/2−k k folgt das Ergebnis
√ 1
z+ 4 =1 2 −1
4 z
4 + 3
16 z
4 2
− 5 32
z 4
3 + 35
256 z
4 4
±. . .
4. R¨uckeinsetzen (z=x−4 ):
√1 x=
X∞ k=0
ak
z }| { 1
2 −1/2
k 1
4k
x−4 k
5. Gesuchte N¨aherungen:
f(3)≈ X∞ k=0
1 2
−1/2 k
1 4k
−1 k
= 1 2+ 1
16+ 3 256+ 5
2048+ 35
65536. . .= 0.5772.
f(5)≈ X∞ k=0
1 2
−1/2 k
1 4k
1
k
= 1 2− 1
16+ 3 256− 5
2048+ 35 65536. . . .
= 0.4473
6. Zur Frage, ob die Formeln auch noch f¨ur”entferntere“ Werte vonxanwendbar sind, ben¨otigt man die Kenntnis desKonvergenzradius ρder Potenzreihe aus (4.):
ρ= lim
k→∞
ak
ak+1
= lim
k→∞
1 2
−1/2 k
1 4k
1 2
−1/2 k+1
1 4k+1
= lim
k→∞
1 2/
−1/2 k
1 4/k
1 2/
−1/2 k
·−1/2k+1−k ·4·14/k
= lim
k→∞
4(k+ 1)
−1/2−k = 4
Die Reihe konvergiert f¨ur Werte von (x−4) zwischen−4 und 4 und somit f¨ur Werte vonxzwischen 0 und 8. Sie ist damit auch noch zur Berechnung vonf(2) undf(7) einsetzbar, jedoch nicht mehr f¨ur z.B.f(9)
