Aufgaben 1) und 2) sind relevant f¨ ur den Scheinerwerb.

Universit¨ at Kassel Wintersemester 2015/16

Fachbereich 10/16 Blatt 03

Peter Dr¨ axler 04.11.2015

Ubungen zur Vorlesung Diskrete Strukturen II ¨

Aufgaben 1) und 2) sind relevant f¨ ur den Scheinerwerb.

Aufgabe 1. Auf M := {0, 1, 2, 3, 4, 5} betrachten wir die durch die folgende Verkn¨ upfungstafel gegebene und mit ⊗ bezeichnete Verkn¨ upfung:

⊗ 0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5

2 0 2 4 0 2 4

3 0 3 0 3 0 3

4 0 4 2 0 4 2

5 0 5 4 3 2 1

Wir nehmen als gegeben an, dass diese Verkn¨ upfung assoziativ ist, so dass (M, ⊗) zu einer Halbgruppe wird.

Entscheiden Sie, ob diese Halbgruppe ein Monoid ist und bestimmen Sie gegebenenfalls, f¨ ur welche x ∈ M ein inverses Element existiert.

Aufgabe 2. Geben Sie alle 6 Elemente der symmetrischen Gruppe S

vom Grad 3 als Produkt elementfremder Zykel an und berechnen Sie die Verkn¨ upfungstafel dieser Gruppe.

Aufgabe 3. Es sei G ein Monoid mit neutralem Element e. Ferner seien g, h invertierbare Elemente von G.

Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

a) g

ist invertierbar und es gilt (g

)

= g.

b) hg ist invertierbar und es gilt (hg)

= g

h

. c) e ist invertierbar und es gilt e

= e.

Aufgabe 4. Auf der Menge N × N definieren wir eine Relation ∼ durch (x, y) ∼ (x

, y

) : ⇐⇒ x − y = x

− y

. a) Zeigen Sie, dass ∼ eine ¨ Aquivalenzrelation ist.

b) Auf N × N/ ∼ definieren wir eine Verkn¨ upfung ⊕ durch [(x, y)] ⊕ [(x

, y

)] := [(x + x

, y + y

)]. Beweisen Sie, dass (N × N/ ∼, ⊕) eine abelsche Gruppe ist.

c) Zu welcher Ihnen bekannten Gruppe k¨ onnte diese Gruppe isomorph sein?

Abgabe: Die L¨ osungen m¨ ussen am Mittwoch, 11.11.2015 sp¨ atestens bis 08:15 Uhr abgegeben werden.