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Aufgaben 1) und 2) sind relevant f¨ ur den Scheinerwerb.

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Universit¨ at Kassel Wintersemester 2015/16

Fachbereich 10/16 Blatt 08

Peter Dr¨ axler 09.12.2015

Ubungen zur Vorlesung Diskrete Strukturen II ¨

Aufgaben 1) und 2) sind relevant f¨ ur den Scheinerwerb.

Aufgabe 1.

a) Berechnen Sie mit dem euklidischen Algorithmus g := ggT(653, 206) und ganze Zahlen a, b ∈ Z mit g = 653a + 206b.

b) Entscheiden Sie, ob [206]

653

ein inverses Element in (Z/653, ·) hat und berechnen Sie dieses gegebenenfalls.

Aufgabe 2. Geben Sie die Einheitengruppe (Z/21Z)

∗

des Ringes Z/21Z durch Auflisten der Elemente explizit an.

Aufgabe 3. Wir betrachten die Teilmenge Q[ √

3] := {x + y √

3 | x, y ∈ Q} von R. Zeigen Sie, dass die von R auf Q[ √

3] vererbte Addition und Multiplikation wohldefinierte Verkn¨ upfungen auf Q[ √

3] sind und Q[ √ 3] mit diesen Verkn¨ upfungen zu einem K¨ orper wird.

Aufgabe 4.

a) Es sei n ≥ 5 eine nat¨ urliche Zahl. Beweisen Sie, dass n genau dann eine Primzahl ist, wenn (n − 1)! 6≡

0 mod n gilt.

b) Es seien k, n ∈ N nat¨ urliche Zahlen mit k, n ≥ 2. Beweisen Sie: Ist n

k

− 1 eine Primzahl, so ist n = 2 und k ist eine Primzahl.

Abgabe: Die L¨ osungen m¨ ussen am Mittwoch, 16.12.2015 sp¨ atestens bis 08:15 Uhr abgegeben werden.

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