Aufgaben 1) und 2) sind relevant f¨ ur den Scheinerwerb.

(1)

Universit¨ at Kassel Wintersemester 2015/16

Fachbereich 10/16 Blatt 04

Peter Dr¨ axler 11.11.2015

Ubungen zur Vorlesung Diskrete Strukturen II ¨

Aufgaben 1) und 2) sind relevant f¨ ur den Scheinerwerb.

Aufgabe 1. Wir nummerieren die Ecken eines Tetraeders mit den Zahlen 1, 2, 3, 4 und nehmen als gegeben an, dass die Menge der r¨ aumlichen Drehungen, welche den Tetraeder auf sich selbst abbilden, dadurch als Untergruppe der symmetrischen Gruppe S

4

betrachtet werden kann. Diese Untergruppe wollen wir als A

4

bezeichnen. Sie enth¨ alt also die folgenden 12 Elemente:

• 4 Drehungen jeweils um die Achse durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegen¨ uberliegenden Seiten- fl¨ ache um 60 Grad.

• 4 Drehungen jeweils um die Achse durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegen¨ uberliegenden Seiten- fl¨ ache um 120 Grad.

• 3 Drehungen jeweils um die Achse durch die Mitten zweier gegen¨ uberliegender Kanten um 180 Grad.

• Die identische Abbildung.

Schreiben Sie diese Permuationen als Produkt elementfremder Zykel und stellen Sie damit die Gruppentafel der Gruppe A

4

auf.

Aufgabe 2. Geben Sie alle Untergruppen der Gruppe S

3

an. Gibt es Untergruppen, die keine Normalteiler sind?

Aufgabe 3. Wir betrachten f¨ ur ϕ ∈ R die Drehung

r

_ϕ

: C → C, z 7→ e

^iϕ

z

in der komplexen Ebene um den in rad gemessenen Winkel ϕ und die Spiegelung s

_ϕ

: C → C, z 7→ e

^2iϕ

z

an der Achse e

^iϕ

R. Wie ¨ ublich bezeichnen wir dabei zu einer komplexen Zahl z = x + iy mit z = x − iy die konjugiert komplexe Zahl.

Dass die Abbildungen r

ϕ

und s

ϕ

bijektiv sind, setzen wir als bekannt voraus.

a) Beweisen Sie, dass s

²_ϕ

= Id, r

ψ

r

ϕ

= r

ϕ+ψ

, r

⁻¹_ϕ

= r

_−ϕ

, s

ϕ

r

ψ

s

ϕ

= r

_−ψ

und r

ψ

s

ϕ

r

_ψ⁻¹

= s

ϕ+ψ

f¨ ur alle ϕ, ψ ∈ R gilt.

(Hinweis: Sie wissen aus anderen Vorlesungen, dass e

^z

= e

^z

f¨ ur alle z ∈ C gilt, insbesondere also e

^ix

= e

^−ix

f¨ ur x ∈ R.)

b) Sei nun n ∈ N, n ≥ 2. Seien ρ := r

2π/n

die Drehung um den Winkel 2π/n, σ = s

π/n

die Spiegelung an der Achse e

^πi/n

R und D

n

= {σ

^`

◦ ρ

^k

: ` ∈ {0, 1}, k ∈ {0, 1, · · · , n − 1}}. Zeigen Sie, dass D

n

eine Untergruppe der Gruppe S

C

aller Bijektionen C → C ist.

(Hinweis: Aus a) folgt ρ

ⁿ

= Id, σ

²

= Id und σρ

^k

σ = (ρ

^k

)

⁻¹

.)

c) Inwiefern kann man D

_n

als Symmetriegruppe eines regul¨ aren n-Ecks auffassen?

Aufgabe 4. Sei (G, ·) eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn x · x = 1

G

Aufgaben 1) und 2) sind relevant f¨ ur den Scheinerwerb.

Universit¨ at Kassel Wintersemester 2015/16

Fachbereich 10/16 Blatt 04

Peter Dr¨ axler 11.11.2015

Ubungen zur Vorlesung Diskrete Strukturen II ¨

Aufgaben 1) und 2) sind relevant f¨ ur den Scheinerwerb.

Aufgabe 1. Wir nummerieren die Ecken eines Tetraeders mit den Zahlen 1, 2, 3, 4 und nehmen als gegeben an, dass die Menge der r¨ aumlichen Drehungen, welche den Tetraeder auf sich selbst abbilden, dadurch als Untergruppe der symmetrischen Gruppe S

betrachtet werden kann. Diese Untergruppe wollen wir als A

bezeichnen. Sie enth¨ alt also die folgenden 12 Elemente:

• 4 Drehungen jeweils um die Achse durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegen¨ uberliegenden Seiten- fl¨ ache um 60 Grad.

• 4 Drehungen jeweils um die Achse durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegen¨ uberliegenden Seiten- fl¨ ache um 120 Grad.

• 3 Drehungen jeweils um die Achse durch die Mitten zweier gegen¨ uberliegender Kanten um 180 Grad.

• Die identische Abbildung.

Schreiben Sie diese Permuationen als Produkt elementfremder Zykel und stellen Sie damit die Gruppentafel der Gruppe A

auf.

Aufgabe 2. Geben Sie alle Untergruppen der Gruppe S

an. Gibt es Untergruppen, die keine Normalteiler sind?

Aufgabe 3. Wir betrachten f¨ ur ϕ ∈ R die Drehung

r

: C → C, z 7→ e

z

in der komplexen Ebene um den in rad gemessenen Winkel ϕ und die Spiegelung s

: C → C, z 7→ e

z

an der Achse e

R. Wie ¨ ublich bezeichnen wir dabei zu einer komplexen Zahl z = x + iy mit z = x − iy die konjugiert komplexe Zahl.

Dass die Abbildungen r

und s

bijektiv sind, setzen wir als bekannt voraus.

a) Beweisen Sie, dass s

= Id, r

r

= r

, r

= r

, s

r

s

= r

und r

s

r

= s

f¨ ur alle ϕ, ψ ∈ R gilt.

(Hinweis: Sie wissen aus anderen Vorlesungen, dass e

= e

f¨ ur alle z ∈ C gilt, insbesondere also e

= e

f¨ ur x ∈ R.)

b) Sei nun n ∈ N, n ≥ 2. Seien ρ := r

die Drehung um den Winkel 2π/n, σ = s

die Spiegelung an der Achse e

R und D

= {σ

◦ ρ

: ` ∈ {0, 1}, k ∈ {0, 1, · · · , n − 1}}. Zeigen Sie, dass D

eine Untergruppe der Gruppe S

aller Bijektionen C → C ist.

(Hinweis: Aus a) folgt ρ

= Id, σ

= Id und σρ

σ = (ρ

)

.)

c) Inwiefern kann man D

als Symmetriegruppe eines regul¨ aren n-Ecks auffassen?

Aufgabe 4. Sei (G, ·) eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn x · x = 1

f¨ ur alle x ∈ G gilt, dann ist G eine abelsche Gruppe.

Abgabe: Die L¨ osungen m¨ ussen am Mittwoch, 18.11.2015 sp¨ atestens bis 08:15 Uhr abgegeben werden.