Aufgabe 1) und 2) sind relevant f¨ ur den Scheinerwerb.

Universit¨ at Kassel Wintersemester 2015/16

Fachbereich 10/16 Blatt 02

Peter Dr¨ axler 28.10.2015

Ubungen zur Vorlesung Diskrete Strukturen II ¨

Aufgabe 1) und 2) sind relevant f¨ ur den Scheinerwerb.

Aufgabe 1. Es sei i ∈ C die imagin¨ are Einheit, d.h. i ² = −1.

Die Relation ≡ auf Z sei definiert durch x ≡ y : ⇐⇒ i ^x = i ^y f¨ ur alle f¨ ur x, y ∈ Z.

F¨ ur x ∈ Z bezeichnen wir wie ¨ ublich mit [x] die ¨ Aquivalenzklasse von x bez¨ uglich ≡ und mit Z/ ≡ die Faktormenge {[x] : x ∈ Z}.

a) Geben Sie die Elemente der Mengen [0], [1], [2], [3] an.

b) Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente der Menge Z/≡.

Aufgabe 2. Wir betrachten die folgenden Verkn¨ upfungen auf X := {1, 2}.

+ 1 2

1 2 1

2 1 2

• 1 2 1 1 2 2 2 2

∩ 1 2

1 2 2

2 2 2

† 1 2 1 2 2 2 1 1 Entscheiden Sie, welche der Verkn¨ upfungen +, •, ∩ und † assoziativ sind.

Aufgabe 3. Wir betrachten die Relation ≈ auf R, die durch

x ≈ y : ⇐⇒ x − y ∈ Z f¨ ur x, y ∈ R gegeben ist. Sei K := {x ∈ C : kxk = 1} der Einheitskreis in C.

a) Beweisen Sie, dass ≈ eine ¨ Aquivalenzrelation ist.

b) Zeigen Sie: F¨ ur jede Zahl x ∈ R existiert genau ein r ∈ R mit 0 ≤ r < 1 und x ≈ r.

c) Sei F := R/ ≈ die entsprechende Faktormenge. Wir definieren f : F → K wie folgt: F¨ ur jede ¨ Aqui- valenzklasse M ∈ F w¨ ahlt man einen Repr¨ asentanten x ∈ M und setzt f (M ) := e ^2πix . Beweisen Sie, dass f wohldefiniert und bijektiv ist. (Anleitung: F¨ ur “wohldefiniert” ist zweierlei zu zeigen. Erstens muss bewiesen werden, dass die Definition unabh¨ angig von der getroffenen Repr¨ asentantenwahl Sinn hat. Daf¨ ur zeigt man, dass f¨ ur jede ¨ Aquivalenzklasse M und f¨ ur jede Wahl von Repr¨ asentanten x 1 , x 2 ∈ M schon e ^2πix

= e ^2πix

gilt. Zweitens ist kurz zu begr¨ unden, warum der Ausdruck e ^2πix wirklich in K liegt.)

Aufgabe 4. Es sei G der Monoid aller Abbildungen f : N → N. Geben Sie Elemente f und g von G an, so dass f zwar ein linksinverses Element, aber kein rechtsinverses Element in G hat, w¨ ahrend g zwar ein rechtsinverses, aber kein linksinverses Element in G hat.

Abgabe: Die L¨ osungen m¨ ussen am Mittwoch, 04.11.2014 sp¨ atestens bis 08:15 Uhr abgegeben werden.