Fourier-Reihen von geraden und ungeraden Funktionen
Die Fourier-Reihe einer geraden 2π-periodischen Funktion f ist eine reine Kosinus-Reihe:
f (x ) ∼ a 0
2 +
∞
X
k
=1
a
kcos(kx) mit
a
k= 2 π
π
Z
0
f (t) cos(kt) dt , k ≥ 0 .
Entsprechend enth¨ alt die Fourier-Reihe einer ungeraden 2π-periodischen Funktion nur Sinus-Terme:
f (x) ∼
∞
X
k
=1
b
ksin(kx)
mit
b
k= 2 π
π
Z
0
f (t) sin(kt) dt , k ≥ 1 .
Beide Aussagen folgen unmittelbar aus der Definition der
Fourier-Koeffizienten, da die entsprechenden Integrale aus
Symmetriegr¨ unden null sind bzw. nur ¨ uber eine H¨ alfte des
Symmetrieintervalls integriert werden muss.
Beispiel:
Fourier-Reihe der 2π-periodischen Fortsetzung der geraden Hutfunktion
π 2π x
−π
−2π 0
π
f (x) =
( π + x, x ∈ [ − π, 0) π − x, x ∈ [0, π) reine Kosinus-Reihe (b
k= 0)
a 0 = 2 π
π
Z
0
π − t dt = π
k ≥ 1 :
a
k= 2
π
π
Z
0
(π − t) cos(kt) dt
part. Int.
= 2
π
(π − t) sin(kt) k
π0
+ 2 π
π
Z
0
sin(kt) k dt
= 0 − 2
π
cos(kt) k 2
π0
= 2
k 2 π
1 − ( − 1)
k= ⇒ Koeffizienten mit geradem Index null und a 2m+1 = 4
(2m + 1) 2 π
Fourier-Reihe:
f (x) = π 2 + 4
π
∞
X
m=0
cos((2m + 1)x) (2m + 1) 2 = π
2 + 4 π
cos(x)
1 + cos(3x) 9 + · · ·
Spezialfall x = 0: f (0) = π = ⇒
π − π 2
π 4 = π 2
8 = 1 1 + 1
9 + 1 25 + · · · erste drei Partialsummen
π 2π x
−π
−2π 0
π
Beispiel:
Fourier-Reihe der 2π-periodischen Fortsetzung der ungeraden Funktion
π 2π x
−π
−2π
1
−1
0
f (x) =
0, x = − π
− 1, x ∈ ( − π, 0) 0, x = 0 1, x ∈ (0, π) reine Sinus-Reihe (a
k= 0)
b
k= 2 π
π
Z
0
sin(kt) dt = 2 π
− cos(kt) k
π0
= 2 k π
1 − ( − 1)
k= ⇒ Koeffizienten mit geradem Index null und
b = 4
Fourier-Reihe:
f (x) ∼ 4 π
∞
X
m=0
