Eine Fourier-Reihe kann gliedweise integriert und differenziert werden:

Differentiation und Integration von Fourier-Reihen

Eine Fourier-Reihe kann gliedweise integriert und differenziert werden:

Z X

k6=0

c _k e _k (x) dx = d ₀ + X

k6=0

d _k e _k (x), d _k = (ik ) ⁻¹ c _k ,

mit d 0 ∈ R bzw.

d dx

X

k

d _k e _k (x) = X

k6=0

c _k e _k (x), c _k = (ik)d _k ,

mit e _k (x) = e ^ikx .

Dabei wird die Konvergenz der auftretenden Reihen vorausgesetzt.

Hinreichend daf¨ ur ist beispielsweise, dass die Betr¨ age der

Fourier-Koeffizienten quadratsummierbar sind:

Ist das Absolutglied c 0 der Fourier-Reihe nicht null, so hat die Reihe keine

periodische Stammfunktion und die gliedweise Integration liefert keine

Fourier-Reihe mehr.

Beispiel:

Fourier-Reihe von

f (x) = | sin x | f gerade reine Kosinus-Reihe, b _k = 0 und

a _k = 2 π

π

Z

0

sin x cos(kx) dx

zweimalige partielle Integration π

2 a _k =

sin x sin(kx) k

π

0

−

π

Z

0

cos x sin(kx) k dx

= 0 +

cos x cos(kx) π

+ 1 Z ^π

sin x cos(kx) dx

Aufl¨ osen nach a _k

a _k = − 2(( − 1) ^k + 1) π(k ² − 1) (gilt auch f¨ ur a 0 )

a _k = 0 f¨ ur k ungerade, c ±k = a _k /2

f (x ) ∼ − 2 π

X

k∈ Z

1

4k ² − 1 e ^2ikx = 2 π − 4

π

∞

X

k=1

1

4k ² − 1 cos(2kx)

0 x

− π π

1

Fouier-Reihe der Ableitung

f ⁰ (x) = sign(sin x) cos x gliedweise Differentiation

f ⁰ (x) ∼ − 2 π

X

k6=0

2ik

4k ² − 1 e ^2ikx = 4 π

∞

X

k=1

2k

4k ² − 1 sin(2kx)

0 x

− π π

1

Beispiel:

Fourier-Reihe der 2π-periodischen Fortsetzung der Funktion f (x) = x, x ∈ [ − π, π)

0 x

− π π

π

f ungerade reine Sinus-Reihe, a _k = 0 und

b k = 2 π

π

Z

0

x sin(kx ) dx

partielle Integration

b _k = 2 π

− x cos(kx) k

π

0

+ 2 π

π

Z

0

cos(kx) k dx

= − 2 ( − 1) ^k k + 2

π

sin(kx) k ²

π

0

| {z }

=0

c ±k = ∓ ib k /2

2π-periodische Fortsetzung der Stammfunktion F (x) = x ² /2, x ∈ [ − π, π) gliedweise Integration, d ₀ = _2π ¹ R π

−π F = π ² /6 Fourier-Reihe F (x) ∼ d ₀ + X

k6=0

( − 1) ^k

k ² e ^ikx = π ² 6 + 2

∞

X

k=1

( − 1) ^k

k ² cos(kx)

Einsetzen von x = π

∞

X

k=1

1

k ² = (F (π) − d ₀ )/2 = π ² /6

0 x

− π π

π

/2