Fourier-Projektion
Die Fourier-Projektion einer quadratintegrierbaren Funktion f ,
p
nf = X
|k|≤n
c
ke
k, c
k= hf , e
ki
2π= 1 2π
π
Z
−π
f (t)e
−iktdt ,
ist die beste Approximation zu f in der durch das Skalarprodukt h·, ·i
2πinduzierten Norm k · k
2π, d.h.
kf − p
nf k
2π= min
q= P
|k|≤n
dkek
kf − qk
2π.
Dar¨ uber hinaus gilt kp
nf k
2π≤ kf k
2π.
Fourier-Projektion 1-1
Beweis:
(i) Orthogonalit¨ at:
hf − p
nf , e
ji
2π= 0, |j | ≤ n
unmittelbare Folge der Orthogonalit¨ at der Basis-Funktionen:
hp
nf , e
ji
2π= X
|k|≤n
c
khe
k, e
ji
2π= X
|k|≤n
c
kδ
k,j= c
j, |j | ≤ n
Subtraktion von hf , e
ji = c
j= ⇒ Behauptung
Fourier-Projektion 2-1
(ii) beste Approximation:
Fehler einer anderen Approximation q = P
|k|≤n
d
ke
kkf − qk
22π= kf − p
nf + p
nf − qk
22π= kf − p
nf k
22π+ hf − p
nf , ri
2π+ +hr , f − p
nf i
2π+ krk
22πmit r = p
nf − q
r Linearkombination von e
j, |j | ≤ n = ⇒
hf − p
nf , r i = 0 = hr , f − p
nf i und
kf − qk
22π= kf − p
nf k
22π+ kp
nf − qk
22πFourier-Projektion 2-2
(iii) Normabsch¨ atzung:
f − p
nf ⊥ p
nf , Satz des Pythagoras = ⇒
kf k
22π= kf − p
nf k
22π+ kp
nf k
22π, d.h. kp
nf k
2π≤ kf k
2πFourier-Projektion 2-3
Dirichlet-Kern
Die Fourier-Projektion
p
nf = X
|k|≤n
hf , e
ki
2πe
k, e
k(x) = e
ikx,
besitzt die Integraldarstellung
(p
nf )(x) = 1 2π
π
Z
−π
q
n(x − t) f (t) dt ,
mit
q
n(ξ) = sin ((n + 1/2)ξ) sin (ξ/2) ,
d.h. p
nf l¨ asst sich als Faltung des sogenannten Dirichlet-Kerns q
nmit der Funktion f darstellen.
Dirichlet-Kern 3-1
Beweis:
Definition des Skalarproduktes und der Projektion
p
nf (x) = X
|k|≤n
1 2π
Z
π−π
f (t )e
−iktdt e
ikx= 1 2π
Z
π−π
X
|k|≤n
e
ik(x−t)| {z }
qn(x−t)
f (t ) dt
setze ξ = x − t und benutze
u
m+ u
m+1+ · · · + u
n= u
n+1− u
mu − 1 , u 6= 1
q
n(ξ) = e
i(n+1)ξ− e
−inξe
iξ− 1 = e
i(n+1/2)ξ− e
−i(n+1/2)ξe
iξ/2− e
−iξ/2Formel von Euler-Moivre, sin t = (e
it− e
−it)/(2i)
q
n(ξ) = sin ((n + 1/2)ξ) sin(ξ/2)
Dirichlet-Kern 4-1
